Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3312 / 1648
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E111.093750°		 ← 8 183.51 m → N 33.137551°
E111.181641°		 →
↑
8 186.93 m
↓
↑
8 186.93 m
↓
N 33.063924°
E111.093750°		 ← 8 190.37 m →
67 025 910 m²		 N 33.063924°
E111.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8087158203125 y=0.4024658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8087158203125 × 212)
    floor (0.8087158203125 × 4096)
    floor (3312.5)     		tx = 3312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4024658203125 × 212)
    floor (0.4024658203125 × 4096)
    floor (1648.5)     		ty = 1648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3312 / 1648 ti = "12/3312/1648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3312/1648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3312 ÷ 212
    3312 ÷ 4096     		x = 0.80859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1648 ÷ 212
    1648 ÷ 4096     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80859375 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93895172} λ = 1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3312 KachelY 1648 1.93895172 0.57835937 111.093750 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 3313 KachelY 1648 1.94048570 0.57835937 111.181641 33.137551
    Unten links KachelX 3312 KachelY + 1 1649 1.93895172 0.57707434 111.093750 33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 3313 KachelY + 1 1649 1.94048570 0.57707434 111.181641 33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57707434) × R
    0.00128503000000002 × 6371000     		dl = 8186.92613000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57707434) × R
    0.00128503000000002 × 6371000     		dr = 8186.92613000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93895172-1.94048570) × cos(0.57835937) × R
    0.00153398000000005 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 8183.51418284151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93895172-1.94048570) × cos(0.57707434) × R
    0.00153398000000005 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 8190.37258347745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.83806239949602)×R²
    abs(1.94048570-1.93895172)×0.000701771211881086×R²
    0.00153398000000005×0.000701771211881086×6371000²
    0.00153398000000005×0.000701771211881086×40589641000000     		ar = 67025909.9317518m²