Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33119 / 102111
↖ ↑ ↗
← S 70.347394°
W 89.035949°		 ← 102.70 m → S 70.347394°
W 89.033203°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.348317°
W 89.035949°		 ← 102.69 m →
10 547 m²		 S 70.348317°
W 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252681732177734 y=0.779048919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252681732177734 × 217)
    floor (0.252681732177734 × 131072)
    floor (33119.5)     		tx = 33119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779048919677734 × 217)
    floor (0.779048919677734 × 131072)
    floor (102111.5)     		ty = 102111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33119 / 102111 ti = "17/33119/102111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33119/102111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33119 ÷ 217
    33119 ÷ 131072     		x = 0.252677917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102111 ÷ 217
    102111 ÷ 131072     		y = 0.779045104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252677917480469 × 2 - 1) × π
    -0.494644165039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.55397047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779045104980469 × 2 - 1) × π
    -0.558090209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75329210360355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55397047} λ = -1.55397047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75329210360355))-π/2
    2×atan(0.173202802268812)-π/2
    2×0.171501341877221-π/2
    0.343002683754441-1.57079632675     		φ = -1.22779364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55397047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.035949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22779364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.347394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33119 KachelY 102111 -1.55397047 -1.22779364 -89.035949 -70.347394
    Oben rechts KachelX + 1 33120 KachelY 102111 -1.55392254 -1.22779364 -89.033203 -70.347394
    Unten links KachelX 33119 KachelY + 1 102112 -1.55397047 -1.22780976 -89.035949 -70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 33120 KachelY + 1 102112 -1.55392254 -1.22780976 -89.033203 -70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22779364--1.22780976) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22779364--1.22780976) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55397047--1.55392254) × cos(-1.22779364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336316381491998 × 6371000     		do = 102.698252974714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55397047--1.55392254) × cos(-1.22780976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 102.693617261968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22779364)-sin(-1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336316381491998-0.336301200453459)×R²
    abs(-1.55392254--1.55397047)×1.51810385391471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51810385391471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51810385391471e-05×40589641000000     		ar = 10546.9259386332m²