Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33101 / 102077
↖ ↑ ↗
← S 70.315964°
W 89.085388°		 ← 102.88 m → S 70.315964°
W 89.082641°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.316888°
W 89.085388°		 ← 102.87 m →
10 578 m²		 S 70.316888°
W 89.082641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252544403076172 y=0.778789520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252544403076172 × 217)
    floor (0.252544403076172 × 131072)
    floor (33101.5)     		tx = 33101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778789520263672 × 217)
    floor (0.778789520263672 × 131072)
    floor (102077.5)     		ty = 102077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33101 / 102077 ti = "17/33101/102077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33101/102077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33101 ÷ 217
    33101 ÷ 131072     		x = 0.252540588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102077 ÷ 217
    102077 ÷ 131072     		y = 0.778785705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252540588378906 × 2 - 1) × π
    -0.494918823242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.55483334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778785705566406 × 2 - 1) × π
    -0.557571411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75166224901647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55483334} λ = -1.55483334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75166224901647))-π/2
    2×atan(0.173485327825831)-π/2
    2×0.171775625706888-π/2
    0.343551251413776-1.57079632675     		φ = -1.22724508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55483334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22724508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.315964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33101 KachelY 102077 -1.55483334 -1.22724508 -89.085388 -70.315964
    Oben rechts KachelX + 1 33102 KachelY 102077 -1.55478540 -1.22724508 -89.082641 -70.315964
    Unten links KachelX 33101 KachelY + 1 102078 -1.55483334 -1.22726122 -89.085388 -70.316888
    Unten rechts KachelX + 1 33102 KachelY + 1 102078 -1.55478540 -1.22726122 -89.082641 -70.316888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22724508--1.22726122) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dl = 102.827939998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22724508--1.22726122) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dr = 102.827939998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55483334--1.55478540) × cos(-1.22724508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336832936728467 × 6371000     		do = 102.877448956598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55483334--1.55478540) × cos(-1.22726122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336817739834722 × 6371000     		du = 102.87280743408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22724508)-sin(-1.22726122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336832936728467-0.336817739834722)×R²
    abs(-1.55478540--1.55483334)×1.51968937451841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51968937451841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51968937451841e-05×40589641000000     		ar = 10578.4375097358m²