Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33100 / 17995
↖ ↑ ↗
← N 62.727050°
E  1.823730°		 ← 279.91 m → N 62.727050°
E  1.829224°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 62.724533°
E  1.823730°		 ← 279.93 m →
78 344 m²		 N 62.724533°
E  1.829224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505073547363281 y=0.274589538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505073547363281 × 216)
    floor (0.505073547363281 × 65536)
    floor (33100.5)     		tx = 33100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274589538574219 × 216)
    floor (0.274589538574219 × 65536)
    floor (17995.5)     		ty = 17995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33100 / 17995 ti = "16/33100/17995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33100/17995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33100 ÷ 216
    33100 ÷ 65536     		x = 0.50506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17995 ÷ 216
    17995 ÷ 65536     		y = 0.274581909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50506591796875 × 2 - 1) × π
    0.0101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03183010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274581909179688 × 2 - 1) × π
    0.450836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41634363617418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03183010} λ = 0.03183010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41634363617418))-π/2
    2×atan(4.12202124363051)-π/2
    2×1.33279494355344-π/2
    2.66558988710688-1.57079632675     		φ = 1.09479356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03183010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09479356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.727050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33100 KachelY 17995 0.03183010 1.09479356 1.823730 62.727050
    Oben rechts KachelX + 1 33101 KachelY 17995 0.03192598 1.09479356 1.829224 62.727050
    Unten links KachelX 33100 KachelY + 1 17996 0.03183010 1.09474963 1.823730 62.724533
    Unten rechts KachelX + 1 33101 KachelY + 1 17996 0.03192598 1.09474963 1.829224 62.724533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09479356-1.09474963) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09479356-1.09474963) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03183010-0.03192598) × cos(1.09479356) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.458229970305377 × 6371000     		do = 279.910455541394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03183010-0.03192598) × cos(1.09474963) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.458269016326365 × 6371000     		du = 279.934306861103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09479356)-sin(1.09474963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458229970305377-0.458269016326365)×R²
    abs(0.03192598-0.03183010)×3.90460209885868e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.90460209885868e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.90460209885868e-05×40589641000000     		ar = 78344.1246163474m²