Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3310 / 5894
↖ ↑ ↗
← S 61.731525°
W 34.541016°		 ← 2 314.26 m → S 61.731525°
W 34.497070°		 →
↑
2 313.50 m
↓
↑
2 313.50 m
↓
S 61.752331°
W 34.541016°		 ← 2 312.70 m →
5 352 238 m²		 S 61.752331°
W 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40411376953125 y=0.71954345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40411376953125 × 213)
    floor (0.40411376953125 × 8192)
    floor (3310.5)     		tx = 3310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71954345703125 × 213)
    floor (0.71954345703125 × 8192)
    floor (5894.5)     		ty = 5894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3310 / 5894 ti = "13/3310/5894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3310/5894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3310 ÷ 213
    3310 ÷ 8192     		x = 0.404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5894 ÷ 213
    5894 ÷ 8192     		y = 0.719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60285445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.43896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37904872826978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60285445} λ = -0.60285445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37904872826978))-π/2
    2×atan(0.251817986490284)-π/2
    2×0.24668897596097-π/2
    0.49337795192194-1.57079632675     		φ = -1.07741837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60285445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.541016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07741837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.731525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3310 KachelY 5894 -0.60285445 -1.07741837 -34.541016 -61.731525
    Oben rechts KachelX + 1 3311 KachelY 5894 -0.60208746 -1.07741837 -34.497070 -61.731525
    Unten links KachelX 3310 KachelY + 1 5895 -0.60285445 -1.07778150 -34.541016 -61.752331
    Unten rechts KachelX + 1 3311 KachelY + 1 5895 -0.60208746 -1.07778150 -34.497070 -61.752331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07741837--1.07778150) × R
    0.000363129999999989 × 6371000     		dl = 2313.50122999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07741837--1.07778150) × R
    0.000363129999999989 × 6371000     		dr = 2313.50122999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60285445--0.60208746) × cos(-1.07741837) × R
    0.000766990000000023 × 0.473603679720616 × 6371000     		do = 2314.26120307417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60285445--0.60208746) × cos(-1.07778150) × R
    0.000766990000000023 × 0.473283826085429 × 6371000     		du = 2312.69824043205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07741837)-sin(-1.07778150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473603679720616-0.473283826085429)×R²
    abs(-0.60208746--0.60285445)×0.000319853635187162×R²
    0.000766990000000023×0.000319853635187162×6371000²
    0.000766990000000023×0.000319853635187162×40589641000000     		ar = 5352238.24066923m²