Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3310 / 1630
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E110.917969°		 ← 8 058.84 m → N 34.452219°
E111.005860°		 →
↑
8 062.31 m
↓
↑
8 062.31 m
↓
N 34.379713°
E110.917969°		 ← 8 065.83 m →
65 001 049 m²		 N 34.379713°
E111.005860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8082275390625 y=0.3980712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8082275390625 × 212)
    floor (0.8082275390625 × 4096)
    floor (3310.5)     		tx = 3310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3980712890625 × 212)
    floor (0.3980712890625 × 4096)
    floor (1630.5)     		ty = 1630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3310 / 1630 ti = "12/3310/1630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3310/1630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3310 ÷ 212
    3310 ÷ 4096     		x = 0.80810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1630 ÷ 212
    1630 ÷ 4096     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80810546875 × 2 - 1) × π
    0.6162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93588375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93588375} λ = 1.93588375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93588375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3310 KachelY 1630 1.93588375 0.60130465 110.917969 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 3311 KachelY 1630 1.93741774 0.60130465 111.005860 34.452219
    Unten links KachelX 3310 KachelY + 1 1631 1.93588375 0.60003918 110.917969 34.379713
    Unten rechts KachelX + 1 3311 KachelY + 1 1631 1.93741774 0.60003918 111.005860 34.379713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.60003918) × R
    0.00126546999999999 × 6371000     		dl = 8062.30936999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.60003918) × R
    0.00126546999999999 × 6371000     		dr = 8062.30936999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93588375-1.93741774) × cos(0.60130465) × R
    0.00153399000000021 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 8058.84018495551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93588375-1.93741774) × cos(0.60003918) × R
    0.00153399000000021 × 0.825313491584101 × 6371000     		du = 8065.830258268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.60003918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.825313491584101)×R²
    abs(1.93741774-1.93588375)×0.000715239674929813×R²
    0.00153399000000021×0.000715239674929813×6371000²
    0.00153399000000021×0.000715239674929813×40589641000000     		ar = 65001049.4757491m²