Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 331 / 717
↖ ↑ ↗
← S 58.263287°
W 63.632812°		 ← 20.563 km → S 58.263287°
W 63.281250°		 →
↑
20.509 km
↓
↑
20.509 km
↓
S 58.447733°
W 63.632812°		 ← 20.456 km →
420.638 km²		 S 58.447733°
W 63.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32373046875 y=0.70068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32373046875 × 210)
    floor (0.32373046875 × 1024)
    floor (331.5)     		tx = 331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70068359375 × 210)
    floor (0.70068359375 × 1024)
    floor (717.5)     		ty = 717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 331 / 717 ti = "10/331/717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/331/717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 331 ÷ 210
    331 ÷ 1024     		x = 0.3232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 717 ÷ 210
    717 ÷ 1024     		y = 0.7001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    -0.353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.11060209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7001953125 × 2 - 1) × π
    -0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.11060209} λ = -1.11060209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25786424603027))-π/2
    2×atan(0.284260489109831)-π/2
    2×0.276955067356672-π/2
    0.553910134713345-1.57079632675     		φ = -1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.11060209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.632812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 331 KachelY 717 -1.11060209 -1.01688619 -63.632812 -58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 332 KachelY 717 -1.10446617 -1.01688619 -63.281250 -58.263287
    Unten links KachelX 331 KachelY + 1 718 -1.11060209 -1.02010538 -63.632812 -58.447733
    Unten rechts KachelX + 1 332 KachelY + 1 718 -1.10446617 -1.02010538 -63.281250 -58.447733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01688619--1.02010538) × R
    0.00321919000000004 × 6371000     		dl = 20509.4594900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01688619--1.02010538) × R
    0.00321919000000004 × 6371000     		dr = 20509.4594900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.11060209--1.10446617) × cos(-1.01688619) × R
    0.00613591999999996 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 20563.0170774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.11060209--1.10446617) × cos(-1.02010538) × R
    0.00613591999999996 × 0.523276153202488 × 6371000     		du = 20455.8832915276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01688619)-sin(-1.02010538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.523276153202488)×R²
    abs(-1.10446617--1.11060209)×0.0027405590142634×R²
    0.00613591999999996×0.0027405590142634×6371000²
    0.00613591999999996×0.0027405590142634×40589641000000     		ar = 420638100.983015m²