Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33092 / 18004
↖ ↑ ↗
← N 62.704388°
E  1.779785°		 ← 280.10 m → N 62.704388°
E  1.785278°		 →
↑
280.13 m
↓
↑
280.13 m
↓
N 62.701868°
E  1.779785°		 ← 280.12 m →
78 467 m²		 N 62.701868°
E  1.785278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504951477050781 y=0.274726867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504951477050781 × 216)
    floor (0.504951477050781 × 65536)
    floor (33092.5)     		tx = 33092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274726867675781 × 216)
    floor (0.274726867675781 × 65536)
    floor (18004.5)     		ty = 18004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33092 / 18004 ti = "16/33092/18004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33092/18004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33092 ÷ 216
    33092 ÷ 65536     		x = 0.50494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18004 ÷ 216
    18004 ÷ 65536     		y = 0.27471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27471923828125 × 2 - 1) × π
    0.4505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41548077198102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03106311} λ = 0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41548077198102))-π/2
    2×atan(4.11846603314843)-π/2
    2×1.33259717261211-π/2
    2.66519434522421-1.57079632675     		φ = 1.09439802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09439802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.704388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33092 KachelY 18004 0.03106311 1.09439802 1.779785 62.704388
    Oben rechts KachelX + 1 33093 KachelY 18004 0.03115898 1.09439802 1.785278 62.704388
    Unten links KachelX 33092 KachelY + 1 18005 0.03106311 1.09435405 1.779785 62.701868
    Unten rechts KachelX + 1 33093 KachelY + 1 18005 0.03115898 1.09435405 1.785278 62.701868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09439802-1.09435405) × R
    4.39700000001153e-05 × 6371000     		dl = 280.132870000735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09439802-1.09435405) × R
    4.39700000001153e-05 × 6371000     		dr = 280.132870000735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03106311-0.03115898) × cos(1.09439802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458581503720878 × 6371000     		do = 280.095974020916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03106311-0.03115898) × cos(1.09435405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458620577321524 × 6371000     		du = 280.11983969832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09439802)-sin(1.09435405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458581503720878-0.458620577321524)×R²
    abs(0.03115898-0.03106311)×3.9073600645978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9073600645978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9073600645978e-05×40589641000000     		ar = 78467.4318710861m²