Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3309 / 733
↖ ↑ ↗
← N 81.328221°
W 34.584961°		 ← 736.76 m → N 81.328221°
W 34.541016°		 →
↑
737.06 m
↓
↑
737.06 m
↓
N 81.321592°
W 34.584961°		 ← 737.31 m →
543 240 m²		 N 81.321592°
W 34.541016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40399169921875 y=0.08953857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40399169921875 × 213)
    floor (0.40399169921875 × 8192)
    floor (3309.5)     		tx = 3309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08953857421875 × 213)
    floor (0.08953857421875 × 8192)
    floor (733.5)     		ty = 733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3309 / 733 ti = "13/3309/733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3309/733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3309 ÷ 213
    3309 ÷ 8192     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 733 ÷ 213
    733 ÷ 8192     		y = 0.0894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894775390625 × 2 - 1) × π
    0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57938869475598))-π/2
    2×atan(13.1890731452393)-π/2
    2×1.49512077853808-π/2
    2.99024155707616-1.57079632675     		φ = 1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3309 KachelY 733 -0.60362144 1.41944523 -34.584961 81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 3310 KachelY 733 -0.60285445 1.41944523 -34.541016 81.328221
    Unten links KachelX 3309 KachelY + 1 734 -0.60362144 1.41932954 -34.584961 81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 3310 KachelY + 1 734 -0.60285445 1.41932954 -34.541016 81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41944523-1.41932954) × R
    0.000115690000000113 × 6371000     		dl = 737.060990000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41944523-1.41932954) × R
    0.000115690000000113 × 6371000     		dr = 737.060990000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(1.41944523) × R
    0.000766989999999912 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 736.755753784541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(1.41932954) × R
    0.000766989999999912 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 737.314604694244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41944523)-sin(1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150888287558526)×R²
    abs(-0.60285445--0.60362144)×0.000114366453924375×R²
    0.000766989999999912×0.000114366453924375×6371000²
    0.000766989999999912×0.000114366453924375×40589641000000     		ar = 543239.879480316m²