Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3309 / 731
↖ ↑ ↗
← N 81.341463°
W 34.584961°		 ← 735.64 m → N 81.341463°
W 34.541016°		 →
↑
735.91 m
↓
↑
735.91 m
↓
N 81.334844°
W 34.584961°		 ← 736.20 m →
541 573 m²		 N 81.334844°
W 34.541016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40399169921875 y=0.08929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40399169921875 × 213)
    floor (0.40399169921875 × 8192)
    floor (3309.5)     		tx = 3309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08929443359375 × 213)
    floor (0.08929443359375 × 8192)
    floor (731.5)     		ty = 731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3309 / 731 ti = "13/3309/731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3309/731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3309 ÷ 213
    3309 ÷ 8192     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 731 ÷ 213
    731 ÷ 8192     		y = 0.0892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0892333984375 × 2 - 1) × π
    0.821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58092267554382))-π/2
    2×atan(13.2093204555757)-π/2
    2×1.49523633304782-π/2
    2.99047266609564-1.57079632675     		φ = 1.41967634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41967634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.341463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3309 KachelY 731 -0.60362144 1.41967634 -34.584961 81.341463
    Oben rechts KachelX + 1 3310 KachelY 731 -0.60285445 1.41967634 -34.541016 81.341463
    Unten links KachelX 3309 KachelY + 1 732 -0.60362144 1.41956083 -34.584961 81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 3310 KachelY + 1 732 -0.60285445 1.41956083 -34.541016 81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41967634-1.41956083) × R
    0.000115510000000096 × 6371000     		dl = 735.914210000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41967634-1.41956083) × R
    0.000115510000000096 × 6371000     		dr = 735.914210000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(1.41967634) × R
    0.000766989999999912 × 0.150545449067169 × 6371000     		do = 735.639326706675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(1.41956083) × R
    0.000766989999999912 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 736.197327778536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41967634)-sin(1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150545449067169-0.150659641605406)×R²
    abs(-0.60285445--0.60362144)×0.000114192538236496×R²
    0.000766989999999912×0.000114192538236496×6371000²
    0.000766989999999912×0.000114192538236496×40589641000000     		ar = 541572.755019923m²