Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3309 / 6391
↖ ↑ ↗
← S 70.480896°
W 34.584961°		 ← 1 632.68 m → S 70.480896°
W 34.541016°		 →
↑
1 632.12 m
↓
↑
1 632.12 m
↓
S 70.495574°
W 34.584961°		 ← 1 631.50 m →
2 663 773 m²		 S 70.495574°
W 34.541016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40399169921875 y=0.78021240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40399169921875 × 213)
    floor (0.40399169921875 × 8192)
    floor (3309.5)     		tx = 3309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78021240234375 × 213)
    floor (0.78021240234375 × 8192)
    floor (6391.5)     		ty = 6391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3309 / 6391 ti = "13/3309/6391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3309/6391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3309 ÷ 213
    3309 ÷ 8192     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6391 ÷ 213
    6391 ÷ 8192     		y = 0.7801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76024295404846))-π/2
    2×atan(0.172003069904074)-π/2
    2×0.170336317770417-π/2
    0.340672635540835-1.57079632675     		φ = -1.23012369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23012369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.480896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3309 KachelY 6391 -0.60362144 -1.23012369 -34.584961 -70.480896
    Oben rechts KachelX + 1 3310 KachelY 6391 -0.60285445 -1.23012369 -34.541016 -70.480896
    Unten links KachelX 3309 KachelY + 1 6392 -0.60362144 -1.23037987 -34.584961 -70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 3310 KachelY + 1 6392 -0.60285445 -1.23037987 -34.541016 -70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23012369--1.23037987) × R
    0.000256179999999828 × 6371000     		dl = 1632.12277999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23012369--1.23037987) × R
    0.000256179999999828 × 6371000     		dr = 1632.12277999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(-1.23012369) × R
    0.000766989999999912 × 0.334121148128101 × 6371000     		do = 1632.68074837488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60285445) × cos(-1.23037987) × R
    0.000766989999999912 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 1631.5008149926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23012369)-sin(-1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334121148128101-0.333879679796468)×R²
    abs(-0.60285445--0.60362144)×0.00024146833163291×R²
    0.000766989999999912×0.00024146833163291×6371000²
    0.000766989999999912×0.00024146833163291×40589641000000     		ar = 2663772.55837982m²