Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3309 / 1357
↖ ↑ ↗
← N 51.781435°
E110.830078°		 ← 6 046.19 m → N 51.781435°
E110.917969°		 →
↑
6 049.84 m
↓
↑
6 049.84 m
↓
N 51.727028°
E110.830078°		 ← 6 053.47 m →
36 600 489 m²		 N 51.727028°
E110.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8079833984375 y=0.3314208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8079833984375 × 212)
    floor (0.8079833984375 × 4096)
    floor (3309.5)     		tx = 3309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3314208984375 × 212)
    floor (0.3314208984375 × 4096)
    floor (1357.5)     		ty = 1357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3309 / 1357 ti = "12/3309/1357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3309/1357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3309 ÷ 212
    3309 ÷ 4096     		x = 0.807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1357 ÷ 212
    1357 ÷ 4096     		y = 0.331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807861328125 × 2 - 1) × π
    0.61572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93434977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331298828125 × 2 - 1) × π
    0.33740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05998072439868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93434977} λ = 1.93434977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05998072439868))-π/2
    2×atan(2.88631535326772)-π/2
    2×1.23727643474145-π/2
    2.4745528694829-1.57079632675     		φ = 0.90375654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93434977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90375654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.781435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3309 KachelY 1357 1.93434977 0.90375654 110.830078 51.781435
    Oben rechts KachelX + 1 3310 KachelY 1357 1.93588375 0.90375654 110.917969 51.781435
    Unten links KachelX 3309 KachelY + 1 1358 1.93434977 0.90280695 110.830078 51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 3310 KachelY + 1 1358 1.93588375 0.90280695 110.917969 51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90375654-0.90280695) × R
    0.000949590000000056 × 6371000     		dl = 6049.83789000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90375654-0.90280695) × R
    0.000949590000000056 × 6371000     		dr = 6049.83789000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93434977-1.93588375) × cos(0.90375654) × R
    0.00153397999999982 × 0.618662990374151 × 6371000     		do = 6046.18510246855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93434977-1.93588375) × cos(0.90280695) × R
    0.00153397999999982 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 6053.47352704267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90375654)-sin(0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618662990374151-0.619408762868)×R²
    abs(1.93588375-1.93434977)×0.00074577249384955×R²
    0.00153397999999982×0.00074577249384955×6371000²
    0.00153397999999982×0.00074577249384955×40589641000000     		ar = 36600489.3667267m²