Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33083 / 17981
↖ ↑ ↗
← N 62.762270°
E  1.730347°		 ← 279.55 m → N 62.762270°
E  1.735840°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 62.759755°
E  1.730347°		 ← 279.57 m →
78 171 m²		 N 62.759755°
E  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504814147949219 y=0.274375915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504814147949219 × 216)
    floor (0.504814147949219 × 65536)
    floor (33083.5)     		tx = 33083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274375915527344 × 216)
    floor (0.274375915527344 × 65536)
    floor (17981.5)     		ty = 17981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33083 / 17981 ti = "16/33083/17981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33083/17981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33083 ÷ 216
    33083 ÷ 65536     		x = 0.504806518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17981 ÷ 216
    17981 ÷ 65536     		y = 0.274368286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504806518554688 × 2 - 1) × π
    0.009613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03020025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274368286132812 × 2 - 1) × π
    0.451263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41768586936354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03020025} λ = 0.03020025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41768586936354))-π/2
    2×atan(4.12755767210879)-π/2
    2×1.33310228590158-π/2
    2.66620457180316-1.57079632675     		φ = 1.09540825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03020025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09540825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.762270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33083 KachelY 17981 0.03020025 1.09540825 1.730347 62.762270
    Oben rechts KachelX + 1 33084 KachelY 17981 0.03029612 1.09540825 1.735840 62.762270
    Unten links KachelX 33083 KachelY + 1 17982 0.03020025 1.09536436 1.730347 62.759755
    Unten rechts KachelX + 1 33084 KachelY + 1 17982 0.03029612 1.09536436 1.735840 62.759755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09540825-1.09536436) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09540825-1.09536436) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03020025-0.03029612) × cos(1.09540825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457683526601018 × 6371000     		do = 279.547500578365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03020025-0.03029612) × cos(1.09536436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457722549425089 × 6371000     		du = 279.571335242059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09540825)-sin(1.09536436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457683526601018-0.457722549425089)×R²
    abs(0.03029612-0.03020025)×3.90228240710888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90228240710888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90228240710888e-05×40589641000000     		ar = 78171.2962431371m²