Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3308 / 5901
↖ ↑ ↗
← S 61.876870°
W 34.628906°		 ← 2 303.34 m → S 61.876870°
W 34.584961°		 →
↑
2 302.54 m
↓
↑
2 302.54 m
↓
S 61.897578°
W 34.628906°		 ← 2 301.78 m →
5 301 738 m²		 S 61.897578°
W 34.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40386962890625 y=0.72039794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40386962890625 × 213)
    floor (0.40386962890625 × 8192)
    floor (3308.5)     		tx = 3308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72039794921875 × 213)
    floor (0.72039794921875 × 8192)
    floor (5901.5)     		ty = 5901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3308 / 5901 ti = "13/3308/5901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3308/5901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3308 ÷ 213
    3308 ÷ 8192     		x = 0.40380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5901 ÷ 213
    5901 ÷ 8192     		y = 0.7203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38441766102722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60438843} λ = -0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38441766102722))-π/2
    2×atan(0.250469615549107)-π/2
    2×0.245420605369496-π/2
    0.490841210738991-1.57079632675     		φ = -1.07995512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07995512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.876870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3308 KachelY 5901 -0.60438843 -1.07995512 -34.628906 -61.876870
    Oben rechts KachelX + 1 3309 KachelY 5901 -0.60362144 -1.07995512 -34.584961 -61.876870
    Unten links KachelX 3308 KachelY + 1 5902 -0.60438843 -1.08031653 -34.628906 -61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 3309 KachelY + 1 5902 -0.60362144 -1.08031653 -34.584961 -61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07995512--1.08031653) × R
    0.000361410000000006 × 6371000     		dl = 2302.54311000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07995512--1.08031653) × R
    0.000361410000000006 × 6371000     		dr = 2302.54311000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60438843--0.60362144) × cos(-1.07995512) × R
    0.000766990000000023 × 0.471367945965422 × 6371000     		do = 2303.33630508118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60438843--0.60362144) × cos(-1.08031653) × R
    0.000766990000000023 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 2301.77863027015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07995512)-sin(-1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471367945965422-0.471049174462302)×R²
    abs(-0.60362144--0.60438843)×0.000318771503119764×R²
    0.000766990000000023×0.000318771503119764×6371000²
    0.000766990000000023×0.000318771503119764×40589641000000     		ar = 5301737.89028191m²