Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3308 / 1631
↖ ↑ ↗
← N 34.379713°
E110.742187°		 ← 8 065.78 m → N 34.379713°
E110.830078°		 →
↑
8 069.25 m
↓
↑
8 069.25 m
↓
N 34.307144°
E110.742187°		 ← 8 072.76 m →
65 112 990 m²		 N 34.307144°
E110.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8077392578125 y=0.3983154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8077392578125 × 212)
    floor (0.8077392578125 × 4096)
    floor (3308.5)     		tx = 3308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3983154296875 × 212)
    floor (0.3983154296875 × 4096)
    floor (1631.5)     		ty = 1631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3308 / 1631 ti = "12/3308/1631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3308/1631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3308 ÷ 212
    3308 ÷ 4096     		x = 0.8076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1631 ÷ 212
    1631 ÷ 4096     		y = 0.398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8076171875 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93281579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93281579} λ = 1.93281579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639669988530029))-π/2
    2×atan(1.8958551221214)-π/2
    2×1.08541775359909-π/2
    2.17083550719819-1.57079632675     		φ = 0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93281579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.742187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3308 KachelY 1631 1.93281579 0.60003918 110.742187 34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 3309 KachelY 1631 1.93434977 0.60003918 110.830078 34.379713
    Unten links KachelX 3308 KachelY + 1 1632 1.93281579 0.59877262 110.742187 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 3309 KachelY + 1 1632 1.93434977 0.59877262 110.830078 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60003918-0.59877262) × R
    0.00126656000000003 × 6371000     		dl = 8069.25376000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60003918-0.59877262) × R
    0.00126656000000003 × 6371000     		dr = 8069.25376000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93281579-1.93434977) × cos(0.60003918) × R
    0.00153398000000005 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 8065.77767754461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93281579-1.93434977) × cos(0.59877262) × R
    0.00153398000000005 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 8072.76079273346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60003918)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.826028023946516)×R²
    abs(1.93434977-1.93281579)×0.000714532362414477×R²
    0.00153398000000005×0.000714532362414477×6371000²
    0.00153398000000005×0.000714532362414477×40589641000000     		ar = 65112989.8204801m²