Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33076 / 38004
↖ ↑ ↗
← S 27.625141°
E  1.691895°		 ← 541.16 m → S 27.625141°
E  1.697387°		 →
↑
541.15 m
↓
↑
541.15 m
↓
S 27.630007°
E  1.691895°		 ← 541.13 m →
292 843 m²		 S 27.630007°
E  1.697387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504707336425781 y=0.579902648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504707336425781 × 216)
    floor (0.504707336425781 × 65536)
    floor (33076.5)     		tx = 33076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579902648925781 × 216)
    floor (0.579902648925781 × 65536)
    floor (38004.5)     		ty = 38004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33076 / 38004 ti = "16/33076/38004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33076/38004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33076 ÷ 216
    33076 ÷ 65536     		x = 0.50469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38004 ÷ 216
    38004 ÷ 65536     		y = 0.57989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50469970703125 × 2 - 1) × π
    0.0093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02952913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    -0.1597900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.501995212821228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02952913} λ = 0.02952913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501995212821228))-π/2
    2×atan(0.605321708422521)-π/2
    2×0.544323335817371-π/2
    1.08864667163474-1.57079632675     		φ = -0.48214966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02952913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.691895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48214966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.625141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33076 KachelY 38004 0.02952913 -0.48214966 1.691895 -27.625141
    Oben rechts KachelX + 1 33077 KachelY 38004 0.02962500 -0.48214966 1.697387 -27.625141
    Unten links KachelX 33076 KachelY + 1 38005 0.02952913 -0.48223460 1.691895 -27.630007
    Unten rechts KachelX + 1 33077 KachelY + 1 38005 0.02962500 -0.48223460 1.697387 -27.630007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48214966--0.48223460) × R
    8.49400000000333e-05 × 6371000     		dl = 541.152740000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48214966--0.48223460) × R
    8.49400000000333e-05 × 6371000     		dr = 541.152740000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02952913-0.02962500) × cos(-0.48214966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		do = 541.158089983286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02952913-0.02962500) × cos(-0.48223460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885960817316618 × 6371000     		du = 541.134031916182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48214966)-sin(-0.48223460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886000205903432-0.885960817316618)×R²
    abs(0.02962500-0.02952913)×3.93885868141819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93885868141819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93885868141819e-05×40589641000000     		ar = 292842.673799284m²