Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33072 / 48400
↖ ↑ ↗
← S 64.811557°
E  1.669922°		 ← 259.98 m → S 64.811557°
E  1.675415°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 64.813895°
E  1.669922°		 ← 259.95 m →
67 575 m²		 S 64.813895°
E  1.675415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504646301269531 y=0.738533020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504646301269531 × 216)
    floor (0.504646301269531 × 65536)
    floor (33072.5)     		tx = 33072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738533020019531 × 216)
    floor (0.738533020019531 × 65536)
    floor (48400.5)     		ty = 48400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33072 / 48400 ti = "16/33072/48400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33072/48400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33072 ÷ 216
    33072 ÷ 65536     		x = 0.504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48400 ÷ 216
    48400 ÷ 65536     		y = 0.738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.47705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49869922972144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02914563} λ = 0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49869922972144))-π/2
    2×atan(0.223420590079363)-π/2
    2×0.21981062972599-π/2
    0.439621259451981-1.57079632675     		φ = -1.13117507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13117507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.811557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33072 KachelY 48400 0.02914563 -1.13117507 1.669922 -64.811557
    Oben rechts KachelX + 1 33073 KachelY 48400 0.02924151 -1.13117507 1.675415 -64.811557
    Unten links KachelX 33072 KachelY + 1 48401 0.02914563 -1.13121587 1.669922 -64.813895
    Unten rechts KachelX + 1 33073 KachelY + 1 48401 0.02924151 -1.13121587 1.675415 -64.813895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13117507--1.13121587) × R
    4.0799999999841e-05 × 6371000     		dl = 259.936799998987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13117507--1.13121587) × R
    4.0799999999841e-05 × 6371000     		dr = 259.936799998987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02914563-0.02924151) × cos(-1.13117507) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.425596765979697 × 6371000     		do = 259.97641438191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02914563-0.02924151) × cos(-1.13121587) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.425559845178339 × 6371000     		du = 259.953861255758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13117507)-sin(-1.13121587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425596765979697-0.425559845178339)×R²
    abs(0.02924151-0.02914563)×3.69208013584199e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.69208013584199e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.69208013584199e-05×40589641000000     		ar = 67574.5060451363m²