Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33060 / 38012
↖ ↑ ↗
← S 27.664069°
E  1.604004°		 ← 540.97 m → S 27.664069°
E  1.609497°		 →
↑
540.96 m
↓
↑
540.96 m
↓
S 27.668934°
E  1.604004°		 ← 540.94 m →
292 635 m²		 S 27.668934°
E  1.609497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504463195800781 y=0.580024719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504463195800781 × 216)
    floor (0.504463195800781 × 65536)
    floor (33060.5)     		tx = 33060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580024719238281 × 216)
    floor (0.580024719238281 × 65536)
    floor (38012.5)     		ty = 38012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33060 / 38012 ti = "16/33060/38012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33060/38012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33060 ÷ 216
    33060 ÷ 65536     		x = 0.50445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38012 ÷ 216
    38012 ÷ 65536     		y = 0.58001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50445556640625 × 2 - 1) × π
    0.0089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02799515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.1600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.502762203215149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02799515} λ = 0.02799515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502762203215149))-π/2
    2×atan(0.604857610489009)-π/2
    2×0.543983619431441-π/2
    1.08796723886288-1.57079632675     		φ = -0.48282909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02799515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48282909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.664069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33060 KachelY 38012 0.02799515 -0.48282909 1.604004 -27.664069
    Oben rechts KachelX + 1 33061 KachelY 38012 0.02809102 -0.48282909 1.609497 -27.664069
    Unten links KachelX 33060 KachelY + 1 38013 0.02799515 -0.48291400 1.604004 -27.668934
    Unten rechts KachelX + 1 33061 KachelY + 1 38013 0.02809102 -0.48291400 1.609497 -27.668934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48282909--0.48291400) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dl = 540.961609999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48282909--0.48291400) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dr = 540.961609999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02799515-0.02809102) × cos(-0.48282909) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.885684960033714 × 6371000     		do = 540.965541661539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02799515-0.02809102) × cos(-0.48291400) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.885645534256222 × 6371000     		du = 540.941460878825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48282909)-sin(-0.48291400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885684960033714-0.885645534256222)×R²
    abs(0.02809102-0.02799515)×3.94257774912754e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.94257774912754e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.94257774912754e-05×40589641000000     		ar = 292635.077158071m²