Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3306 / 730
↖ ↑ ↗
← N 81.348076°
W 34.716797°		 ← 735.08 m → N 81.348076°
W 34.672852°		 →
↑
735.34 m
↓
↑
735.34 m
↓
N 81.341463°
W 34.716797°		 ← 735.64 m →
540 741 m²		 N 81.341463°
W 34.672852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40362548828125 y=0.08917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40362548828125 × 213)
    floor (0.40362548828125 × 8192)
    floor (3306.5)     		tx = 3306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08917236328125 × 213)
    floor (0.08917236328125 × 8192)
    floor (730.5)     		ty = 730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3306 / 730 ti = "13/3306/730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3306/730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3306 ÷ 213
    3306 ÷ 8192     		x = 0.403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 730 ÷ 213
    730 ÷ 8192     		y = 0.089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.19287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60592241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089111328125 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58168966593774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60592241} λ = -0.60592241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58168966593774))-π/2
    2×atan(13.2194557638205)-π/2
    2×1.49529404462196-π/2
    2.99058808924392-1.57079632675     		φ = 1.41979176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60592241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.716797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41979176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.348076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3306 KachelY 730 -0.60592241 1.41979176 -34.716797 81.348076
    Oben rechts KachelX + 1 3307 KachelY 730 -0.60515542 1.41979176 -34.672852 81.348076
    Unten links KachelX 3306 KachelY + 1 731 -0.60592241 1.41967634 -34.716797 81.341463
    Unten rechts KachelX + 1 3307 KachelY + 1 731 -0.60515542 1.41967634 -34.672852 81.341463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41979176-1.41967634) × R
    0.000115419999999977 × 6371000     		dl = 735.340819999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41979176-1.41967634) × R
    0.000115419999999977 × 6371000     		dr = 735.340819999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60592241--0.60515542) × cos(1.41979176) × R
    0.000766990000000023 × 0.150431343496113 × 6371000     		do = 735.081750599464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60592241--0.60515542) × cos(1.41967634) × R
    0.000766990000000023 × 0.150545449067169 × 6371000     		du = 735.639326706781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41979176)-sin(1.41967634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150431343496113-0.150545449067169)×R²
    abs(-0.60515542--0.60592241)×0.000114105571056206×R²
    0.000766990000000023×0.000114105571056206×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114105571056206×40589641000000     		ar = 540740.622087483m²