Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33059 / 38021
↖ ↑ ↗
← S 27.707847°
E  1.598511°		 ← 540.75 m → S 27.707847°
E  1.604004°		 →
↑
540.77 m
↓
↑
540.77 m
↓
S 27.712710°
E  1.598511°		 ← 540.72 m →
292 414 m²		 S 27.712710°
E  1.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504447937011719 y=0.580162048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504447937011719 × 216)
    floor (0.504447937011719 × 65536)
    floor (33059.5)     		tx = 33059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580162048339844 × 216)
    floor (0.580162048339844 × 65536)
    floor (38021.5)     		ty = 38021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33059 / 38021 ti = "16/33059/38021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33059/38021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33059 ÷ 216
    33059 ÷ 65536     		x = 0.504440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38021 ÷ 216
    38021 ÷ 65536     		y = 0.580154418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504440307617188 × 2 - 1) × π
    0.008880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02789928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580154418945312 × 2 - 1) × π
    -0.160308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.50362506740831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02789928} λ = 0.02789928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50362506740831))-π/2
    2×atan(0.604335925618922)-π/2
    2×0.543601583079113-π/2
    1.08720316615823-1.57079632675     		φ = -0.48359316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02789928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48359316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.707847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33059 KachelY 38021 0.02789928 -0.48359316 1.598511 -27.707847
    Oben rechts KachelX + 1 33060 KachelY 38021 0.02799515 -0.48359316 1.604004 -27.707847
    Unten links KachelX 33059 KachelY + 1 38022 0.02789928 -0.48367804 1.598511 -27.712710
    Unten rechts KachelX + 1 33060 KachelY + 1 38022 0.02799515 -0.48367804 1.604004 -27.712710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48359316--0.48367804) × R
    8.48799999999539e-05 × 6371000     		dl = 540.770479999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48359316--0.48367804) × R
    8.48799999999539e-05 × 6371000     		dr = 540.770479999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02789928-0.02799515) × cos(-0.48359316) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		do = 540.74870830989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02789928-0.02799515) × cos(-0.48367804) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		du = 540.724600959863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48359316)-sin(-0.48367804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885329953986934-0.885290484712644)×R²
    abs(0.02799515-0.02789928)×3.94692742903269e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.94692742903269e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.94692742903269e-05×40589641000000     		ar = 292414.420455977m²