Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33054 / 38010
↖ ↑ ↗
← S 27.654338°
E  1.571045°		 ← 541.01 m → S 27.654338°
E  1.576538°		 →
↑
541.03 m
↓
↑
541.03 m
↓
S 27.659204°
E  1.571045°		 ← 540.99 m →
292 696 m²		 S 27.659204°
E  1.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504371643066406 y=0.579994201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504371643066406 × 216)
    floor (0.504371643066406 × 65536)
    floor (33054.5)     		tx = 33054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579994201660156 × 216)
    floor (0.579994201660156 × 65536)
    floor (38010.5)     		ty = 38010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33054 / 38010 ti = "16/33054/38010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33054/38010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33054 ÷ 216
    33054 ÷ 65536     		x = 0.504364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38010 ÷ 216
    38010 ÷ 65536     		y = 0.579986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504364013671875 × 2 - 1) × π
    0.00872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02741991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.502570455616669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02741991} λ = 0.02741991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502570455616669))-π/2
    2×atan(0.604973601603396)-π/2
    2×0.544068537193056-π/2
    1.08813707438611-1.57079632675     		φ = -0.48265925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02741991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48265925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.654338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33054 KachelY 38010 0.02741991 -0.48265925 1.571045 -27.654338
    Oben rechts KachelX + 1 33055 KachelY 38010 0.02751578 -0.48265925 1.576538 -27.654338
    Unten links KachelX 33054 KachelY + 1 38011 0.02741991 -0.48274417 1.571045 -27.659204
    Unten rechts KachelX + 1 33055 KachelY + 1 38011 0.02751578 -0.48274417 1.576538 -27.659204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48265925--0.48274417) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dl = 541.025319999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48265925--0.48274417) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dr = 541.025319999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02741991-0.02751578) × cos(-0.48265925) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.885763801714548 × 6371000     		do = 541.013697195958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02741991-0.02751578) × cos(-0.48274417) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.88572438406779 × 6371000     		du = 540.989621379397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48265925)-sin(-0.48274417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885763801714548-0.88572438406779)×R²
    abs(0.02751578-0.02741991)×3.94176467577445e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.94176467577445e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.94176467577445e-05×40589641000000     		ar = 292695.596012404m²