Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33050 / 38014
↖ ↑ ↗
← S 27.673799°
E  1.549072°		 ← 540.97 m → S 27.673799°
E  1.554566°		 →
↑
540.90 m
↓
↑
540.90 m
↓
S 27.678663°
E  1.549072°		 ← 540.95 m →
292 605 m²		 S 27.678663°
E  1.554566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504310607910156 y=0.580055236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504310607910156 × 216)
    floor (0.504310607910156 × 65536)
    floor (33050.5)     		tx = 33050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580055236816406 × 216)
    floor (0.580055236816406 × 65536)
    floor (38014.5)     		ty = 38014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33050 / 38014 ti = "16/33050/38014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33050/38014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33050 ÷ 216
    33050 ÷ 65536     		x = 0.504302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38014 ÷ 216
    38014 ÷ 65536     		y = 0.580047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504302978515625 × 2 - 1) × π
    0.00860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02703641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.16009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502953950813629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02703641} λ = 0.02703641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502953950813629))-π/2
    2×atan(0.604741641613507)-π/2
    2×0.543898709229367-π/2
    1.08779741845873-1.57079632675     		φ = -0.48299891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02703641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48299891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.673799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33050 KachelY 38014 0.02703641 -0.48299891 1.549072 -27.673799
    Oben rechts KachelX + 1 33051 KachelY 38014 0.02713229 -0.48299891 1.554566 -27.673799
    Unten links KachelX 33050 KachelY + 1 38015 0.02703641 -0.48308381 1.549072 -27.678663
    Unten rechts KachelX + 1 33051 KachelY + 1 38015 0.02713229 -0.48308381 1.554566 -27.678663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48299891--0.48308381) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dl = 540.897899999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48299891--0.48308381) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dr = 540.897899999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02703641-0.02713229) × cos(-0.48299891) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.885606102093485 × 6371000     		do = 540.973798160834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02703641-0.02713229) × cos(-0.48308381) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.88556666819091 × 6371000     		du = 540.949709903084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48299891)-sin(-0.48308381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885606102093485-0.88556666819091)×R²
    abs(0.02713229-0.02703641)×3.94339025754364e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.94339025754364e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.94339025754364e-05×40589641000000     		ar = 292605.076911879m²