Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3305 / 1629
↖ ↑ ↗
← N 34.524662°
E110.478516°		 ← 8 051.79 m → N 34.524662°
E110.566406°		 →
↑
8 055.30 m
↓
↑
8 055.30 m
↓
N 34.452219°
E110.478516°		 ← 8 058.79 m →
64 887 790 m²		 N 34.452219°
E110.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8070068359375 y=0.3978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8070068359375 × 212)
    floor (0.8070068359375 × 4096)
    floor (3305.5)     		tx = 3305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3978271484375 × 212)
    floor (0.3978271484375 × 4096)
    floor (1629.5)     		ty = 1629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3305 / 1629 ti = "12/3305/1629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3305/1629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3305 ÷ 212
    3305 ÷ 4096     		x = 0.806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1629 ÷ 212
    1629 ÷ 4096     		y = 0.397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806884765625 × 2 - 1) × π
    0.61376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92821385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.397705078125 × 2 - 1) × π
    0.20458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.642737950105713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92821385} λ = 1.92821385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.642737950105713))-π/2
    2×atan(1.90168046418274)-π/2
    2×1.0866826712993-π/2
    2.17336534259861-1.57079632675     		φ = 0.60256902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92821385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.478516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60256902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.524662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3305 KachelY 1629 1.92821385 0.60256902 110.478516 34.524662
    Oben rechts KachelX + 1 3306 KachelY 1629 1.92974783 0.60256902 110.566406 34.524662
    Unten links KachelX 3305 KachelY + 1 1630 1.92821385 0.60130465 110.478516 34.452219
    Unten rechts KachelX + 1 3306 KachelY + 1 1630 1.92974783 0.60130465 110.566406 34.452219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60256902-0.60130465) × R
    0.00126437000000001 × 6371000     		dl = 8055.30127000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60256902-0.60130465) × R
    0.00126437000000001 × 6371000     		dr = 8055.30127000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92821385-1.92974783) × cos(0.60256902) × R
    0.00153398000000005 × 0.82388231514847 × 6371000     		do = 8051.79080944556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92821385-1.92974783) × cos(0.60130465) × R
    0.00153398000000005 × 0.824598251909172 × 6371000     		du = 8058.78764980003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60256902)-sin(0.60130465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82388231514847-0.824598251909172)×R²
    abs(1.92974783-1.92821385)×0.000715936760702029×R²
    0.00153398000000005×0.000715936760702029×6371000²
    0.00153398000000005×0.000715936760702029×40589641000000     		ar = 64887790.2059074m²