Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33049 / 37995
↖ ↑ ↗
← S 27.581329°
E  1.543579°		 ← 541.37 m → S 27.581329°
E  1.549072°		 →
↑
541.41 m
↓
↑
541.41 m
↓
S 27.586198°
E  1.543579°		 ← 541.35 m →
293 098 m²		 S 27.586198°
E  1.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504295349121094 y=0.579765319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504295349121094 × 216)
    floor (0.504295349121094 × 65536)
    floor (33049.5)     		tx = 33049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579765319824219 × 216)
    floor (0.579765319824219 × 65536)
    floor (37995.5)     		ty = 37995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33049 / 37995 ti = "16/33049/37995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33049/37995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33049 ÷ 216
    33049 ÷ 65536     		x = 0.504287719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37995 ÷ 216
    37995 ÷ 65536     		y = 0.579757690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504287719726562 × 2 - 1) × π
    0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579757690429688 × 2 - 1) × π
    -0.159515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501132348628067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02694054} λ = 0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501132348628067))-π/2
    2×atan(0.605844244256372)-π/2
    2×0.544705661186022-π/2
    1.08941132237204-1.57079632675     		φ = -0.48138500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48138500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.581329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33049 KachelY 37995 0.02694054 -0.48138500 1.543579 -27.581329
    Oben rechts KachelX + 1 33050 KachelY 37995 0.02703641 -0.48138500 1.549072 -27.581329
    Unten links KachelX 33049 KachelY + 1 37996 0.02694054 -0.48146998 1.543579 -27.586198
    Unten rechts KachelX + 1 33050 KachelY + 1 37996 0.02703641 -0.48146998 1.549072 -27.586198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48138500--0.48146998) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dl = 541.407580000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48138500--0.48146998) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dr = 541.407580000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02694054-0.02703641) × cos(-0.48138500) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.886354508097849 × 6371000     		do = 541.37449343054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02694054-0.02703641) × cos(-0.48146998) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.886315158543873 × 6371000     		du = 541.350459204216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48138500)-sin(-0.48146998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886354508097849-0.886315158543873)×R²
    abs(0.02703641-0.02694054)×3.9349553975887e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.9349553975887e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.9349553975887e-05×40589641000000     		ar = 293097.748382375m²