Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33048 / 38017
↖ ↑ ↗
← S 27.688392°
E  1.538086°		 ← 540.90 m → S 27.688392°
E  1.543579°		 →
↑
540.83 m
↓
↑
540.83 m
↓
S 27.693256°
E  1.538086°		 ← 540.88 m →
292 532 m²		 S 27.693256°
E  1.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504280090332031 y=0.580101013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504280090332031 × 216)
    floor (0.504280090332031 × 65536)
    floor (33048.5)     		tx = 33048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580101013183594 × 216)
    floor (0.580101013183594 × 65536)
    floor (38017.5)     		ty = 38017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33048 / 38017 ti = "16/33048/38017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33048/38017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33048 ÷ 216
    33048 ÷ 65536     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38017 ÷ 216
    38017 ÷ 65536     		y = 0.580093383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580093383789062 × 2 - 1) × π
    -0.160186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.503241572211349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503241572211349))-π/2
    2×atan(0.604567729988838)-π/2
    2×0.543771358104278-π/2
    1.08754271620856-1.57079632675     		φ = -0.48325361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48325361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.688392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33048 KachelY 38017 0.02684466 -0.48325361 1.538086 -27.688392
    Oben rechts KachelX + 1 33049 KachelY 38017 0.02694054 -0.48325361 1.543579 -27.688392
    Unten links KachelX 33048 KachelY + 1 38018 0.02684466 -0.48333850 1.538086 -27.693256
    Unten rechts KachelX + 1 33049 KachelY + 1 38018 0.02694054 -0.48333850 1.543579 -27.693256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48325361--0.48333850) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dl = 540.834190000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48325361--0.48333850) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dr = 540.834190000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.48325361) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.885487781236523 × 6371000     		do = 540.901521690244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.48333850) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		du = 540.87742457436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48325361)-sin(-0.48333850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885487781236523-0.885448332832659)×R²
    abs(0.02694054-0.02684466)×3.94484038643839e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.94484038643839e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.94484038643839e-05×40589641000000     		ar = 292531.520256658m²