Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33048 / 37996
↖ ↑ ↗
← S 27.586198°
E  1.538086°		 ← 541.41 m → S 27.586198°
E  1.543579°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
S 27.591066°
E  1.538086°		 ← 541.38 m →
293 081 m²		 S 27.591066°
E  1.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504280090332031 y=0.579780578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504280090332031 × 216)
    floor (0.504280090332031 × 65536)
    floor (33048.5)     		tx = 33048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579780578613281 × 216)
    floor (0.579780578613281 × 65536)
    floor (37996.5)     		ty = 37996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33048 / 37996 ti = "16/33048/37996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33048/37996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33048 ÷ 216
    33048 ÷ 65536     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37996 ÷ 216
    37996 ÷ 65536     		y = 0.57977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57977294921875 × 2 - 1) × π
    -0.1595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501228222427307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501228222427307))-π/2
    2×atan(0.605786162451233)-π/2
    2×0.544663173042126-π/2
    1.08932634608425-1.57079632675     		φ = -0.48146998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48146998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.586198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33048 KachelY 37996 0.02684466 -0.48146998 1.538086 -27.586198
    Oben rechts KachelX + 1 33049 KachelY 37996 0.02694054 -0.48146998 1.543579 -27.586198
    Unten links KachelX 33048 KachelY + 1 37997 0.02684466 -0.48155495 1.538086 -27.591066
    Unten rechts KachelX + 1 33049 KachelY + 1 37997 0.02694054 -0.48155495 1.543579 -27.591066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48146998--0.48155495) × R
    8.4969999999962e-05 × 6371000     		dl = 541.343869999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48146998--0.48155495) × R
    8.4969999999962e-05 × 6371000     		dr = 541.343869999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.48146998) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.886315158543873 × 6371000     		do = 541.406926342957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.48155495) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.886275807220862 × 6371000     		du = 541.382888529056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48146998)-sin(-0.48155495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886315158543873-0.886275807220862)×R²
    abs(0.02694054-0.02684466)×3.93513230111386e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.93513230111386e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.93513230111386e-05×40589641000000     		ar = 293080.814565779m²