Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33047 / 18617
↖ ↑ ↗
← N 61.119366°
E  1.532593°		 ← 295 m → N 61.119366°
E  1.538086°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 61.116713°
E  1.532593°		 ← 295.03 m →
87 041 m²		 N 61.116713°
E  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504264831542969 y=0.284080505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504264831542969 × 216)
    floor (0.504264831542969 × 65536)
    floor (33047.5)     		tx = 33047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284080505371094 × 216)
    floor (0.284080505371094 × 65536)
    floor (18617.5)     		ty = 18617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33047 / 18617 ti = "16/33047/18617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33047/18617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33047 ÷ 216
    33047 ÷ 65536     		x = 0.504257202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18617 ÷ 216
    18617 ÷ 65536     		y = 0.284072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504257202148438 × 2 - 1) × π
    0.008514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02674879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284072875976562 × 2 - 1) × π
    0.431854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.35671013304683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02674879} λ = 0.02674879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35671013304683))-π/2
    2×atan(3.88339640579307)-π/2
    2×1.31876525146261-π/2
    2.63753050292522-1.57079632675     		φ = 1.06673418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02674879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.532593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06673418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.119366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33047 KachelY 18617 0.02674879 1.06673418 1.532593 61.119366
    Oben rechts KachelX + 1 33048 KachelY 18617 0.02684466 1.06673418 1.538086 61.119366
    Unten links KachelX 33047 KachelY + 1 18618 0.02674879 1.06668787 1.532593 61.116713
    Unten rechts KachelX + 1 33048 KachelY + 1 18618 0.02684466 1.06668787 1.538086 61.116713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06673418-1.06668787) × R
    4.63100000001049e-05 × 6371000     		dl = 295.041010000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06673418-1.06668787) × R
    4.63100000001049e-05 × 6371000     		dr = 295.041010000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02674879-0.02684466) × cos(1.06673418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.482986442487508 × 6371000     		do = 295.002212147172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02674879-0.02684466) × cos(1.06668787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.483026992294383 × 6371000     		du = 295.026979473287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06673418)-sin(1.06668787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.482986442487508-0.483026992294383)×R²
    abs(0.02684466-0.02674879)×4.054980687479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.054980687479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.054980687479e-05×40589641000000     		ar = 87041.4043280664m²