Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33045 / 37997
↖ ↑ ↗
← S 27.591066°
E  1.521606°		 ← 541.38 m → S 27.591066°
E  1.527100°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
S 27.595935°
E  1.521606°		 ← 541.36 m →
293 068 m²		 S 27.595935°
E  1.527100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504234313964844 y=0.579795837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504234313964844 × 216)
    floor (0.504234313964844 × 65536)
    floor (33045.5)     		tx = 33045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579795837402344 × 216)
    floor (0.579795837402344 × 65536)
    floor (37997.5)     		ty = 37997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33045 / 37997 ti = "16/33045/37997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33045/37997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33045 ÷ 216
    33045 ÷ 65536     		x = 0.504226684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37997 ÷ 216
    37997 ÷ 65536     		y = 0.579788208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504226684570312 × 2 - 1) × π
    0.008453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02655704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579788208007812 × 2 - 1) × π
    -0.159576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.501324096226547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02655704} λ = 0.02655704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501324096226547))-π/2
    2×atan(0.605728086214351)-π/2
    2×0.544620686784554-π/2
    1.08924137356911-1.57079632675     		φ = -0.48155495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02655704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.521606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48155495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.591066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33045 KachelY 37997 0.02655704 -0.48155495 1.521606 -27.591066
    Oben rechts KachelX + 1 33046 KachelY 37997 0.02665292 -0.48155495 1.527100 -27.591066
    Unten links KachelX 33045 KachelY + 1 37998 0.02655704 -0.48163992 1.521606 -27.595935
    Unten rechts KachelX + 1 33046 KachelY + 1 37998 0.02665292 -0.48163992 1.527100 -27.595935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48155495--0.48163992) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dl = 541.343870000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48155495--0.48163992) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dr = 541.343870000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02655704-0.02665292) × cos(-0.48155495) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.886275807220862 × 6371000     		do = 541.382888529056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02655704-0.02665292) × cos(-0.48163992) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.886236449499027 × 6371000     		du = 541.358846806423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48155495)-sin(-0.48163992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886275807220862-0.886236449499027)×R²
    abs(0.02665292-0.02655704)×3.93577218347207e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.93577218347207e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.93577218347207e-05×40589641000000     		ar = 293067.800784984m²