Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33031 / 18695
↖ ↑ ↗
← N 60.911744°
E  1.444702°		 ← 296.94 m → N 60.911744°
E  1.450195°		 →
↑
296.95 m
↓
↑
296.95 m
↓
N 60.909073°
E  1.444702°		 ← 296.96 m →
88 180 m²		 N 60.909073°
E  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504020690917969 y=0.285270690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504020690917969 × 216)
    floor (0.504020690917969 × 65536)
    floor (33031.5)     		tx = 33031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285270690917969 × 216)
    floor (0.285270690917969 × 65536)
    floor (18695.5)     		ty = 18695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33031 / 18695 ti = "16/33031/18695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33031/18695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33031 ÷ 216
    33031 ÷ 65536     		x = 0.504013061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18695 ÷ 216
    18695 ÷ 65536     		y = 0.285263061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504013061523438 × 2 - 1) × π
    0.008026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02521481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.285263061523438 × 2 - 1) × π
    0.429473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3492319767061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02521481} λ = 0.02521481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3492319767061))-π/2
    2×atan(3.85446407541381)-π/2
    2×1.31695340574906-π/2
    2.63390681149812-1.57079632675     		φ = 1.06311048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02521481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.444702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06311048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.911744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33031 KachelY 18695 0.02521481 1.06311048 1.444702 60.911744
    Oben rechts KachelX + 1 33032 KachelY 18695 0.02531068 1.06311048 1.450195 60.911744
    Unten links KachelX 33031 KachelY + 1 18696 0.02521481 1.06306387 1.444702 60.909073
    Unten rechts KachelX + 1 33032 KachelY + 1 18696 0.02531068 1.06306387 1.450195 60.909073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06311048-1.06306387) × R
    4.6610000000058e-05 × 6371000     		dl = 296.952310000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06311048-1.06306387) × R
    4.6610000000058e-05 × 6371000     		dr = 296.952310000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02521481-0.02531068) × cos(1.06311048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.486156277017499 × 6371000     		do = 296.938308311014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02521481-0.02531068) × cos(1.06306387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.486197007658037 × 6371000     		du = 296.963186088119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06311048)-sin(1.06306387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486156277017499-0.486197007658037)×R²
    abs(0.02531068-0.02521481)×4.07306405377783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07306405377783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07306405377783e-05×40589641000000     		ar = 88180.2103531481m²