Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3303 / 807
↖ ↑ ↗
← N 80.823902°
W 34.848633°		 ← 779.25 m → N 80.823902°
W 34.804687°		 →
↑
779.56 m
↓
↑
779.56 m
↓
N 80.816891°
W 34.848633°		 ← 779.84 m →
607 696 m²		 N 80.816891°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40325927734375 y=0.09857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40325927734375 × 213)
    floor (0.40325927734375 × 8192)
    floor (3303.5)     		tx = 3303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09857177734375 × 213)
    floor (0.09857177734375 × 8192)
    floor (807.5)     		ty = 807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3303 / 807 ti = "13/3303/807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3303/807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3303 ÷ 213
    3303 ÷ 8192     		x = 0.4031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 807 ÷ 213
    807 ÷ 8192     		y = 0.0985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60822338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985107421875 × 2 - 1) × π
    0.802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52263140560584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60822338} λ = -0.60822338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52263140560584))-π/2
    2×atan(12.4613444099161)-π/2
    2×1.49071976088815-π/2
    2.9814395217763-1.57079632675     		φ = 1.41064320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60822338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41064320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.823902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3303 KachelY 807 -0.60822338 1.41064320 -34.848633 80.823902
    Oben rechts KachelX + 1 3304 KachelY 807 -0.60745639 1.41064320 -34.804687 80.823902
    Unten links KachelX 3303 KachelY + 1 808 -0.60822338 1.41052084 -34.848633 80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 3304 KachelY + 1 808 -0.60745639 1.41052084 -34.804687 80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41064320-1.41052084) × R
    0.000122359999999988 × 6371000     		dl = 779.555559999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41064320-1.41052084) × R
    0.000122359999999988 × 6371000     		dr = 779.555559999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60822338--0.60745639) × cos(1.41064320) × R
    0.000766990000000023 × 0.159469375695561 × 6371000     		do = 779.246034296871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60822338--0.60745639) × cos(1.41052084) × R
    0.000766990000000023 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 779.836288235599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41064320)-sin(1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159469375695561-0.159590168645371)×R²
    abs(-0.60745639--0.60822338)×0.000120792949810239×R²
    0.000766990000000023×0.000120792949810239×6371000²
    0.000766990000000023×0.000120792949810239×40589641000000     		ar = 607695.647272457m²