Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3303 / 709
↖ ↑ ↗
← N 81.485802°
W 34.848633°		 ← 723.47 m → N 81.485802°
W 34.804687°		 →
↑
723.75 m
↓
↑
723.75 m
↓
N 81.479293°
W 34.848633°		 ← 724.02 m →
523 805 m²		 N 81.479293°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40325927734375 y=0.08660888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40325927734375 × 213)
    floor (0.40325927734375 × 8192)
    floor (3303.5)     		tx = 3303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08660888671875 × 213)
    floor (0.08660888671875 × 8192)
    floor (709.5)     		ty = 709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3303 / 709 ti = "13/3303/709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3303/709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3303 ÷ 213
    3303 ÷ 8192     		x = 0.4031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 709 ÷ 213
    709 ÷ 8192     		y = 0.0865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60822338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0865478515625 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59779646421008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60822338} λ = -0.60822338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59779646421008))-π/2
    2×atan(13.4341028694408)-π/2
    2×1.49649593254989-π/2
    2.99299186509977-1.57079632675     		φ = 1.42219554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60822338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42219554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.485802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3303 KachelY 709 -0.60822338 1.42219554 -34.848633 81.485802
    Oben rechts KachelX + 1 3304 KachelY 709 -0.60745639 1.42219554 -34.804687 81.485802
    Unten links KachelX 3303 KachelY + 1 710 -0.60822338 1.42208194 -34.848633 81.479293
    Unten rechts KachelX + 1 3304 KachelY + 1 710 -0.60745639 1.42208194 -34.804687 81.479293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42219554-1.42208194) × R
    0.000113599999999936 × 6371000     		dl = 723.745599999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42219554-1.42208194) × R
    0.000113599999999936 × 6371000     		dr = 723.745599999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60822338--0.60745639) × cos(1.42219554) × R
    0.000766990000000023 × 0.148054485091179 × 6371000     		do = 723.467247952471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60822338--0.60745639) × cos(1.42208194) × R
    0.000766990000000023 × 0.148166832173394 × 6371000     		du = 724.016231215866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42219554)-sin(1.42208194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148054485091179-0.148166832173394)×R²
    abs(-0.60745639--0.60822338)×0.000112347082215081×R²
    0.000766990000000023×0.000112347082215081×6371000²
    0.000766990000000023×0.000112347082215081×40589641000000     		ar = 523804.900122737m²