Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33024 / 32519
↖ ↑ ↗
← N  1.367668°
E  1.406250°		 ← 610.68 m → N  1.367668°
E  1.411743°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.362176°
E  1.406250°		 ← 610.68 m →
372 917 m²		 N  1.362176°
E  1.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503913879394531 y=0.496208190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503913879394531 × 216)
    floor (0.503913879394531 × 65536)
    floor (33024.5)     		tx = 33024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496208190917969 × 216)
    floor (0.496208190917969 × 65536)
    floor (32519.5)     		ty = 32519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33024 / 32519 ti = "16/33024/32519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33024/32519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33024 ÷ 216
    33024 ÷ 65536     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32519 ÷ 216
    32519 ÷ 65536     		y = 0.496200561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496200561523438 × 2 - 1) × π
    0.007598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.023872576010788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.023872576010788))-π/2
    2×atan(1.02415980704749)-π/2
    2×0.797333317816152-π/2
    1.5946666356323-1.57079632675     		φ = 0.02387031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02387031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.367668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33024 KachelY 32519 0.02454369 0.02387031 1.406250 1.367668
    Oben rechts KachelX + 1 33025 KachelY 32519 0.02463957 0.02387031 1.411743 1.367668
    Unten links KachelX 33024 KachelY + 1 32520 0.02454369 0.02377446 1.406250 1.362176
    Unten rechts KachelX + 1 33025 KachelY + 1 32520 0.02463957 0.02377446 1.411743 1.362176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02387031-0.02377446) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02387031-0.02377446) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02463957) × cos(0.02387031) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999715117677603 × 6371000     		do = 610.677459211735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02463957) × cos(0.02377446) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999717400837238 × 6371000     		du = 610.678853883178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02387031)-sin(0.02377446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999715117677603-0.999717400837238)×R²
    abs(0.02463957-0.02454369)×2.28315963590742e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.28315963590742e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.28315963590742e-06×40589641000000     		ar = 372916.937100111m²