Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3302 / 710
↖ ↑ ↗
← N 81.479293°
W 34.892578°		 ← 724.02 m → N 81.479293°
W 34.848633°		 →
↑
724.32 m
↓
↑
724.32 m
↓
N 81.472779°
W 34.892578°		 ← 724.57 m →
524 618 m²		 N 81.472779°
W 34.848633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40313720703125 y=0.08673095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40313720703125 × 213)
    floor (0.40313720703125 × 8192)
    floor (3302.5)     		tx = 3302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08673095703125 × 213)
    floor (0.08673095703125 × 8192)
    floor (710.5)     		ty = 710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3302 / 710 ti = "13/3302/710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3302/710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3302 ÷ 213
    3302 ÷ 8192     		x = 0.403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 710 ÷ 213
    710 ÷ 8192     		y = 0.086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60899037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086669921875 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60899037} λ = -0.60899037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59702947381616))-π/2
    2×atan(13.4238029920474)-π/2
    2×1.49643913282581-π/2
    2.99287826565161-1.57079632675     		φ = 1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60899037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3302 KachelY 710 -0.60899037 1.42208194 -34.892578 81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 3303 KachelY 710 -0.60822338 1.42208194 -34.848633 81.479293
    Unten links KachelX 3302 KachelY + 1 711 -0.60899037 1.42196825 -34.892578 81.472779
    Unten rechts KachelX + 1 3303 KachelY + 1 711 -0.60822338 1.42196825 -34.848633 81.472779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42208194-1.42196825) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dl = 724.318990000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42208194-1.42196825) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dr = 724.318990000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60899037--0.60822338) × cos(1.42208194) × R
    0.000766990000000023 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 724.016231215866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60899037--0.60822338) × cos(1.42196825) × R
    0.000766990000000023 × 0.14827926634862 × 6371000     		du = 724.565640058677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42208194)-sin(1.42196825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.14827926634862)×R²
    abs(-0.60822338--0.60899037)×0.000112434175226384×R²
    0.000766990000000023×0.000112434175226384×6371000²
    0.000766990000000023×0.000112434175226384×40589641000000     		ar = 524617.679531617m²