Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33017 / 38103
↖ ↑ ↗
← S 28.105903°
E  1.367798°		 ← 538.76 m → S 28.105903°
E  1.373291°		 →
↑
538.80 m
↓
↑
538.80 m
↓
S 28.110749°
E  1.367798°		 ← 538.74 m →
290 276 m²		 S 28.110749°
E  1.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503807067871094 y=0.581413269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503807067871094 × 216)
    floor (0.503807067871094 × 65536)
    floor (33017.5)     		tx = 33017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581413269042969 × 216)
    floor (0.581413269042969 × 65536)
    floor (38103.5)     		ty = 38103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33017 / 38103 ti = "16/33017/38103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33017/38103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33017 ÷ 216
    33017 ÷ 65536     		x = 0.503799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38103 ÷ 216
    38103 ÷ 65536     		y = 0.581405639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503799438476562 × 2 - 1) × π
    0.007598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02387258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    -0.162811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.511486718945999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02387258} λ = 0.02387258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511486718945999))-π/2
    2×atan(0.599603473977158)-π/2
    2×0.540127886012358-π/2
    1.08025577202472-1.57079632675     		φ = -0.49054055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02387258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.367798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49054055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.105903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33017 KachelY 38103 0.02387258 -0.49054055 1.367798 -28.105903
    Oben rechts KachelX + 1 33018 KachelY 38103 0.02396845 -0.49054055 1.373291 -28.105903
    Unten links KachelX 33017 KachelY + 1 38104 0.02387258 -0.49062512 1.367798 -28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 33018 KachelY + 1 38104 0.02396845 -0.49062512 1.373291 -28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49054055--0.49062512) × R
    8.4570000000006e-05 × 6371000     		dl = 538.795470000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49054055--0.49062512) × R
    8.4570000000006e-05 × 6371000     		dr = 538.795470000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02387258-0.02396845) × cos(-0.49054055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882078332892345 × 6371000     		do = 538.762657912622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02387258-0.02396845) × cos(-0.49062512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 538.738321492261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49054055)-sin(-0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882078332892345-0.882038488577257)×R²
    abs(0.02396845-0.02387258)×3.9844315088855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9844315088855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9844315088855e-05×40589641000000     		ar = 290276.32348498m²