Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33016 / 38104
↖ ↑ ↗
← S 28.110749°
E  1.362305°		 ← 538.79 m → S 28.110749°
E  1.367798°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
S 28.115594°
E  1.362305°		 ← 538.77 m →
290 259 m²		 S 28.115594°
E  1.367798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503791809082031 y=0.581428527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503791809082031 × 216)
    floor (0.503791809082031 × 65536)
    floor (33016.5)     		tx = 33016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581428527832031 × 216)
    floor (0.581428527832031 × 65536)
    floor (38104.5)     		ty = 38104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33016 / 38104 ti = "16/33016/38104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33016/38104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33016 ÷ 216
    33016 ÷ 65536     		x = 0.5037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38104 ÷ 216
    38104 ÷ 65536     		y = 0.5814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5037841796875 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.511582592745239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02377670} λ = 0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511582592745239))-π/2
    2×atan(0.599545990469695)-π/2
    2×0.540085602866912-π/2
    1.08017120573382-1.57079632675     		φ = -0.49062512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49062512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.110749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33016 KachelY 38104 0.02377670 -0.49062512 1.362305 -28.110749
    Oben rechts KachelX + 1 33017 KachelY 38104 0.02387258 -0.49062512 1.367798 -28.110749
    Unten links KachelX 33016 KachelY + 1 38105 0.02377670 -0.49070968 1.362305 -28.115594
    Unten rechts KachelX + 1 33017 KachelY + 1 38105 0.02387258 -0.49070968 1.367798 -28.115594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49062512--0.49070968) × R
    8.45599999999558e-05 × 6371000     		dl = 538.731759999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49062512--0.49070968) × R
    8.45599999999558e-05 × 6371000     		dr = 538.731759999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02377670-0.02387258) × cos(-0.49062512) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		do = 538.794516164378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02377670-0.02387258) × cos(-0.49070968) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.881998642666273 × 6371000     		du = 538.770176230682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49062512)-sin(-0.49070968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882038488577257-0.881998642666273)×R²
    abs(0.02387258-0.02377670)×3.98459109834937e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.98459109834937e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.98459109834937e-05×40589641000000     		ar = 290259.161796703m²