Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3301 / 1638
↖ ↑ ↗
← N 33.870416°
E110.126953°		 ← 8 114.51 m → N 33.870416°
E110.214844°		 →
↑
8 117.99 m
↓
↑
8 117.99 m
↓
N 33.797409°
E110.126953°		 ← 8 121.45 m →
65 901 698 m²		 N 33.797409°
E110.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8060302734375 y=0.4000244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8060302734375 × 212)
    floor (0.8060302734375 × 4096)
    floor (3301.5)     		tx = 3301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4000244140625 × 212)
    floor (0.4000244140625 × 4096)
    floor (1638.5)     		ty = 1638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3301 / 1638 ti = "12/3301/1638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3301/1638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3301 ÷ 212
    3301 ÷ 4096     		x = 0.805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1638 ÷ 212
    1638 ÷ 4096     		y = 0.39990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805908203125 × 2 - 1) × π
    0.61181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92207793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39990234375 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92207793} λ = 1.92207793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628932123015137))-π/2
    2×atan(1.87560659233641)-π/2
    2×1.0809732985813-π/2
    2.1619465971626-1.57079632675     		φ = 0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92207793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3301 KachelY 1638 1.92207793 0.59115027 110.126953 33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 3302 KachelY 1638 1.92361191 0.59115027 110.214844 33.870416
    Unten links KachelX 3301 KachelY + 1 1639 1.92207793 0.58987606 110.126953 33.797409
    Unten rechts KachelX + 1 3302 KachelY + 1 1639 1.92361191 0.58987606 110.214844 33.797409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59115027-0.58987606) × R
    0.00127420999999994 × 6371000     		dl = 8117.99190999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59115027-0.58987606) × R
    0.00127420999999994 × 6371000     		dr = 8117.99190999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92207793-1.92361191) × cos(0.59115027) × R
    0.00153398000000005 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 8114.51236141416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92207793-1.92361191) × cos(0.58987606) × R
    0.00153398000000005 × 0.831009628103076 × 6371000     		du = 8121.44594330239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59115027)-sin(0.58987606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.831009628103076)×R²
    abs(1.92361191-1.92207793)×0.000709463973113444×R²
    0.00153398000000005×0.000709463973113444×6371000²
    0.00153398000000005×0.000709463973113444×40589641000000     		ar = 65901698.0009533m²