Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33000 / 17896
↖ ↑ ↗
← N 62.975197°
E  1.274414°		 ← 277.56 m → N 62.975197°
E  1.279908°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 62.972701°
E  1.274414°		 ← 277.58 m →
77 031 m²		 N 62.972701°
E  1.279908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503547668457031 y=0.273078918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503547668457031 × 216)
    floor (0.503547668457031 × 65536)
    floor (33000.5)     		tx = 33000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273078918457031 × 216)
    floor (0.273078918457031 × 65536)
    floor (17896.5)     		ty = 17896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33000 / 17896 ti = "16/33000/17896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33000/17896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33000 ÷ 216
    33000 ÷ 65536     		x = 0.5035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17896 ÷ 216
    17896 ÷ 65536     		y = 0.2730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2730712890625 × 2 - 1) × π
    0.453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42583514229895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02224272} λ = 0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42583514229895))-π/2
    2×atan(4.16133169609254)-π/2
    2×1.33496043573369-π/2
    2.66992087146738-1.57079632675     		φ = 1.09912454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09912454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.975197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33000 KachelY 17896 0.02224272 1.09912454 1.274414 62.975197
    Oben rechts KachelX + 1 33001 KachelY 17896 0.02233860 1.09912454 1.279908 62.975197
    Unten links KachelX 33000 KachelY + 1 17897 0.02224272 1.09908098 1.274414 62.972701
    Unten rechts KachelX + 1 33001 KachelY + 1 17897 0.02233860 1.09908098 1.279908 62.972701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09912454-1.09908098) × R
    4.35599999999425e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09912454-1.09908098) × R
    4.35599999999425e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02224272-0.02233860) × cos(1.09912454) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.454376163896479 × 6371000     		do = 277.556352192885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02224272-0.02233860) × cos(1.09908098) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.454414967145207 × 6371000     		du = 277.5800552148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09912454)-sin(1.09908098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454376163896479-0.454414967145207)×R²
    abs(0.02233860-0.02224272)×3.8803248728847e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.8803248728847e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.8803248728847e-05×40589641000000     		ar = 77030.9388560244m²