Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3300 / 3030
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E110.039063°		 ← 4 130.56 m → S 64.997939°
E110.126953°		 →
↑
4 127.64 m
↓
↑
4 127.64 m
↓
S 65.035060°
E110.039063°		 ← 4 124.82 m →
17 037 640 m²		 S 65.035060°
E110.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8057861328125 y=0.7398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8057861328125 × 212)
    floor (0.8057861328125 × 4096)
    floor (3300.5)     		tx = 3300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7398681640625 × 212)
    floor (0.7398681640625 × 4096)
    floor (3030.5)     		ty = 3030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3300 / 3030 ti = "12/3300/3030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3300/3030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3300 ÷ 212
    3300 ÷ 4096     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3030 ÷ 212
    3030 ÷ 4096     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3300 KachelY 3030 1.92054395 -1.13442805 110.039063 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 3301 KachelY 3030 1.92207793 -1.13442805 110.126953 -64.997939
    Unten links KachelX 3300 KachelY + 1 3031 1.92054395 -1.13507593 110.039063 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 3301 KachelY + 1 3031 1.92207793 -1.13507593 110.126953 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13507593) × R
    0.000647880000000045 × 6371000     		dl = 4127.64348000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13507593) × R
    0.000647880000000045 × 6371000     		dr = 4127.64348000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92207793) × cos(-1.13442805) × R
    0.00153397999999982 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 4130.56114113333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92207793) × cos(-1.13507593) × R
    0.00153397999999982 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 4124.8218814274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.422063598232002)×R²
    abs(1.92207793-1.92054395)×0.00058725750403521×R²
    0.00153397999999982×0.00058725750403521×6371000²
    0.00153397999999982×0.00058725750403521×40589641000000     		ar = 17037639.5499492m²