Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 330 / 175
↖ ↑ ↗
← N 81.544159°
W121.992187°		 ← 2 874.18 m → N 81.544159°
W121.816406°		 →
↑
2 878.55 m
↓
↑
2 878.55 m
↓
N 81.518272°
W121.992187°		 ← 2 882.91 m →
8 286 026 m²		 N 81.518272°
W121.816406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161376953125 y=0.085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161376953125 × 211)
    floor (0.161376953125 × 2048)
    floor (330.5)     		tx = 330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.085693359375 × 211)
    floor (0.085693359375 × 2048)
    floor (175.5)     		ty = 175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 330 / 175 ti = "11/330/175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/330/175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 330 ÷ 211
    330 ÷ 2048     		x = 0.1611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 175 ÷ 211
    175 ÷ 2048     		y = 0.08544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    -0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08544921875 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60469937775537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12916533} λ = -2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60469937775537))-π/2
    2×atan(13.527158126797)-π/2
    2×1.49700519581568-π/2
    2.99401039163136-1.57079632675     		φ = 1.42321406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42321406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.544159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 330 KachelY 175 -2.12916533 1.42321406 -121.992187 81.544159
    Oben rechts KachelX + 1 331 KachelY 175 -2.12609737 1.42321406 -121.816406 81.544159
    Unten links KachelX 330 KachelY + 1 176 -2.12916533 1.42276224 -121.992187 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 331 KachelY + 1 176 -2.12609737 1.42276224 -121.816406 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42321406-1.42276224) × R
    0.000451820000000103 × 6371000     		dl = 2878.54522000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42321406-1.42276224) × R
    0.000451820000000103 × 6371000     		dr = 2878.54522000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12916533--2.12609737) × cos(1.42321406) × R
    0.00306796000000009 × 0.147047113370081 × 6371000     		do = 2874.17893118717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12916533--2.12609737) × cos(1.42276224) × R
    0.00306796000000009 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 2882.91389878946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42321406)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147047113370081-0.147494006831501)×R²
    abs(-2.12609737--2.12916533)×0.0004468934614201×R²
    0.00306796000000009×0.0004468934614201×6371000²
    0.00306796000000009×0.0004468934614201×40589641000000     		ar = 8286026.16438361m²