Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32991 / 33109
↖ ↑ ↗
← S  1.872835°
E  1.224976°		 ← 610.46 m → S  1.872835°
E  1.230469°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.878326°
E  1.224976°		 ← 610.46 m →
372 706 m²		 S  1.878326°
E  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503410339355469 y=0.505210876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503410339355469 × 216)
    floor (0.503410339355469 × 65536)
    floor (32991.5)     		tx = 32991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505210876464844 × 216)
    floor (0.505210876464844 × 65536)
    floor (33109.5)     		ty = 33109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32991 / 33109 ti = "16/32991/33109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32991/33109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32991 ÷ 216
    32991 ÷ 65536     		x = 0.503402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33109 ÷ 216
    33109 ÷ 65536     		y = 0.505203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503402709960938 × 2 - 1) × π
    0.006805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02137986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.010406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0326929655408783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02137986} λ = 0.02137986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0326929655408783))-π/2
    2×atan(0.96783567287703)-π/2
    2×0.769054591784345-π/2
    1.53810918356869-1.57079632675     		φ = -0.03268714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02137986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.224976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03268714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.872835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32991 KachelY 33109 0.02137986 -0.03268714 1.224976 -1.872835
    Oben rechts KachelX + 1 32992 KachelY 33109 0.02147573 -0.03268714 1.230469 -1.872835
    Unten links KachelX 32991 KachelY + 1 33110 0.02137986 -0.03278297 1.224976 -1.878326
    Unten rechts KachelX + 1 32992 KachelY + 1 33110 0.02147573 -0.03278297 1.230469 -1.878326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03268714--0.03278297) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03268714--0.03278297) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02137986-0.02147573) × cos(-0.03268714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999465823003596 × 6371000     		do = 610.461501223568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02137986-0.02147573) × cos(-0.03278297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999462686563507 × 6371000     		du = 610.45958552432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03268714)-sin(-0.03278297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999465823003596-0.999462686563507)×R²
    abs(0.02147573-0.02137986)×3.13644008975711e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.13644008975711e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13644008975711e-06×40589641000000     		ar = 372706.264480684m²