Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32989 / 33111
↖ ↑ ↗
← S  1.883816°
E  1.213989°		 ← 610.46 m → S  1.883816°
E  1.219482°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.889306°
E  1.213989°		 ← 610.46 m →
372 665 m²		 S  1.889306°
E  1.219482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503379821777344 y=0.505241394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503379821777344 × 216)
    floor (0.503379821777344 × 65536)
    floor (32989.5)     		tx = 32989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505241394042969 × 216)
    floor (0.505241394042969 × 65536)
    floor (33111.5)     		ty = 33111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32989 / 33111 ti = "16/32989/33111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32989/33111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32989 ÷ 216
    32989 ÷ 65536     		x = 0.503372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33111 ÷ 216
    33111 ÷ 65536     		y = 0.505233764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503372192382812 × 2 - 1) × π
    0.006744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02118811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505233764648438 × 2 - 1) × π
    -0.010467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02118811} λ = 0.02118811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0328847131393585))-π/2
    2×atan(0.96765011050217)-π/2
    2×0.768958769499518-π/2
    1.53791753899904-1.57079632675     		φ = -0.03287879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02118811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03287879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.883816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32989 KachelY 33111 0.02118811 -0.03287879 1.213989 -1.883816
    Oben rechts KachelX + 1 32990 KachelY 33111 0.02128398 -0.03287879 1.219482 -1.883816
    Unten links KachelX 32989 KachelY + 1 33112 0.02118811 -0.03297461 1.213989 -1.889306
    Unten rechts KachelX + 1 32990 KachelY + 1 33112 0.02128398 -0.03297461 1.219482 -1.889306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03287879--0.03297461) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dl = 610.469220000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03287879--0.03297461) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dr = 610.469220000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02118811-0.02128398) × cos(-0.03287879) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999459541273691 × 6371000     		do = 610.45766441979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02118811-0.02128398) × cos(-0.03297461) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999456386807366 × 6371000     		du = 610.455737710337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03287879)-sin(-0.03297461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999459541273691-0.999456386807366)×R²
    abs(0.02128398-0.02118811)×3.15446632559446e-06×R²
    9.58700000000014e-05×3.15446632559446e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.15446632559446e-06×40589641000000     		ar = 372665.026428133m²