Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32984 / 33112
↖ ↑ ↗
← S  1.889306°
E  1.186523°		 ← 610.46 m → S  1.889306°
E  1.192016°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.894796°
E  1.186523°		 ← 610.45 m →
372 664 m²		 S  1.894796°
E  1.192016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503303527832031 y=0.505256652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503303527832031 × 216)
    floor (0.503303527832031 × 65536)
    floor (32984.5)     		tx = 32984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505256652832031 × 216)
    floor (0.505256652832031 × 65536)
    floor (33112.5)     		ty = 33112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32984 / 33112 ti = "16/32984/33112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32984/33112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32984 ÷ 216
    32984 ÷ 65536     		x = 0.5032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33112 ÷ 216
    33112 ÷ 65536     		y = 0.5052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5032958984375 × 2 - 1) × π
    0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02070874} λ = 0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0329805869385986))-π/2
    2×atan(0.967557342656815)-π/2
    2×0.768910858583383-π/2
    1.53782171716677-1.57079632675     		φ = -0.03297461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03297461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.889306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32984 KachelY 33112 0.02070874 -0.03297461 1.186523 -1.889306
    Oben rechts KachelX + 1 32985 KachelY 33112 0.02080461 -0.03297461 1.192016 -1.889306
    Unten links KachelX 32984 KachelY + 1 33113 0.02070874 -0.03307043 1.186523 -1.894796
    Unten rechts KachelX + 1 32985 KachelY + 1 33113 0.02080461 -0.03307043 1.192016 -1.894796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03297461--0.03307043) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03297461--0.03307043) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02070874-0.02080461) × cos(-0.03297461) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999456386807366 × 6371000     		do = 610.455737710337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02070874-0.02080461) × cos(-0.03307043) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999453223164559 × 6371000     		du = 610.453805396002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03297461)-sin(-0.03307043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999456386807366-0.999453223164559)×R²
    abs(0.02080461-0.02070874)×3.16364280694703e-06×R²
    9.58700000000014e-05×3.16364280694703e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.16364280694703e-06×40589641000000     		ar = 372663.848520461m²