Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32983 / 33114
↖ ↑ ↗
← S  1.900286°
E  1.181030°		 ← 610.45 m → S  1.900286°
E  1.186523°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.905776°
E  1.181030°		 ← 610.45 m →
372 661 m²		 S  1.905776°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503288269042969 y=0.505287170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503288269042969 × 216)
    floor (0.503288269042969 × 65536)
    floor (32983.5)     		tx = 32983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505287170410156 × 216)
    floor (0.505287170410156 × 65536)
    floor (33114.5)     		ty = 33114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32983 / 33114 ti = "16/32983/33114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32983/33114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32983 ÷ 216
    32983 ÷ 65536     		x = 0.503280639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33114 ÷ 216
    33114 ÷ 65536     		y = 0.505279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503280639648438 × 2 - 1) × π
    0.006561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02061287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0331723345370789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02061287} λ = 0.02061287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0331723345370789))-π/2
    2×atan(0.967371833645991)-π/2
    2×0.768815037205866-π/2
    1.53763007441173-1.57079632675     		φ = -0.03316625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02061287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.181030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03316625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.900286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32983 KachelY 33114 0.02061287 -0.03316625 1.181030 -1.900286
    Oben rechts KachelX + 1 32984 KachelY 33114 0.02070874 -0.03316625 1.186523 -1.900286
    Unten links KachelX 32983 KachelY + 1 33115 0.02061287 -0.03326207 1.181030 -1.905776
    Unten rechts KachelX + 1 32984 KachelY + 1 33115 0.02070874 -0.03326207 1.186523 -1.905776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03316625--0.03326207) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03316625--0.03326207) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02061287-0.02070874) × cos(-0.03316625) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.9994500503453 × 6371000     		do = 610.451867476802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02061287-0.02070874) × cos(-0.03326207) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999446868349617 × 6371000     		du = 610.449923952755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03316625)-sin(-0.03326207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9994500503453-0.999446868349617)×R²
    abs(0.02070874-0.02061287)×3.18199568205557e-06×R²
    9.58700000000014e-05×3.18199568205557e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.18199568205557e-06×40589641000000     		ar = 372661.482440438m²