Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32967 / 18519
↖ ↑ ↗
← N 61.378305°
E  1.093140°		 ← 292.58 m → N 61.378305°
E  1.098633°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 61.375673°
E  1.093140°		 ← 292.61 m →
85 619 m²		 N 61.375673°
E  1.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503044128417969 y=0.282585144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503044128417969 × 216)
    floor (0.503044128417969 × 65536)
    floor (32967.5)     		tx = 32967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282585144042969 × 216)
    floor (0.282585144042969 × 65536)
    floor (18519.5)     		ty = 18519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32967 / 18519 ti = "16/32967/18519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32967/18519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32967 ÷ 216
    32967 ÷ 65536     		x = 0.503036499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18519 ÷ 216
    18519 ÷ 65536     		y = 0.282577514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503036499023438 × 2 - 1) × π
    0.006072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01907889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282577514648438 × 2 - 1) × π
    0.434844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36610576537236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01907889} λ = 0.01907889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36610576537236))-π/2
    2×atan(3.92005531774467)-π/2
    2×1.32102491728687-π/2
    2.64204983457374-1.57079632675     		φ = 1.07125351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01907889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.093140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07125351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.378305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32967 KachelY 18519 0.01907889 1.07125351 1.093140 61.378305
    Oben rechts KachelX + 1 32968 KachelY 18519 0.01917476 1.07125351 1.098633 61.378305
    Unten links KachelX 32967 KachelY + 1 18520 0.01907889 1.07120758 1.093140 61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 32968 KachelY + 1 18520 0.01917476 1.07120758 1.098633 61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07125351-1.07120758) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07125351-1.07120758) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01907889-0.01917476) × cos(1.07125351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479024272505873 × 6371000     		do = 292.582167179728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01907889-0.01917476) × cos(1.07120758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 292.606792264292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07125351)-sin(1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479024272505873-0.479064589430628)×R²
    abs(0.01917476-0.01907889)×4.03169247552571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03169247552571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03169247552571e-05×40589641000000     		ar = 85619.0054488125m²