Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32959 / 32467
↖ ↑ ↗
← N  1.653213°
E  1.049195°		 ← 610.53 m → N  1.653213°
E  1.054688°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
N  1.647722°
E  1.049195°		 ← 610.54 m →
372 751 m²		 N  1.647722°
E  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502922058105469 y=0.495414733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502922058105469 × 216)
    floor (0.502922058105469 × 65536)
    floor (32959.5)     		tx = 32959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495414733886719 × 216)
    floor (0.495414733886719 × 65536)
    floor (32467.5)     		ty = 32467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32959 / 32467 ti = "16/32959/32467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32959/32467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32959 ÷ 216
    32959 ÷ 65536     		x = 0.502914428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32467 ÷ 216
    32467 ÷ 65536     		y = 0.495407104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502914428710938 × 2 - 1) × π
    0.005828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01831190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495407104492188 × 2 - 1) × π
    0.009185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0288580135712738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01831190} λ = 0.01831190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0288580135712738))-π/2
    2×atan(1.0292784405295)-π/2
    2×0.799825167889998-π/2
    1.59965033578-1.57079632675     		φ = 0.02885401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01831190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.049195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02885401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.653213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32959 KachelY 32467 0.01831190 0.02885401 1.049195 1.653213
    Oben rechts KachelX + 1 32960 KachelY 32467 0.01840777 0.02885401 1.054688 1.653213
    Unten links KachelX 32959 KachelY + 1 32468 0.01831190 0.02875818 1.049195 1.647722
    Unten rechts KachelX + 1 32960 KachelY + 1 32468 0.01840777 0.02875818 1.054688 1.647722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02885401-0.02875818) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02885401-0.02875818) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01831190-0.01840777) × cos(0.02885401) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999583751933741 × 6371000     		do = 610.533530771852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01831190-0.01840777) × cos(0.02875818) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999586512040068 × 6371000     		du = 610.53521661104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02885401)-sin(0.02875818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999583751933741-0.999586512040068)×R²
    abs(0.01840777-0.01831190)×2.76010632727086e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.76010632727086e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.76010632727086e-06×40589641000000     		ar = 372751.340320805m²