Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32957 / 18621
↖ ↑ ↗
← N 61.108752°
E  1.038208°		 ← 295.10 m → N 61.108752°
E  1.043701°		 →
↑
295.10 m
↓
↑
295.10 m
↓
N 61.106098°
E  1.038208°		 ← 295.13 m →
87 089 m²		 N 61.106098°
E  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502891540527344 y=0.284141540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502891540527344 × 216)
    floor (0.502891540527344 × 65536)
    floor (32957.5)     		tx = 32957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284141540527344 × 216)
    floor (0.284141540527344 × 65536)
    floor (18621.5)     		ty = 18621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32957 / 18621 ti = "16/32957/18621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32957/18621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32957 ÷ 216
    32957 ÷ 65536     		x = 0.502883911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18621 ÷ 216
    18621 ÷ 65536     		y = 0.284133911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502883911132812 × 2 - 1) × π
    0.005767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01812015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284133911132812 × 2 - 1) × π
    0.431732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.35632663784987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01812015} λ = 0.01812015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35632663784987))-π/2
    2×atan(3.88190742744983)-π/2
    2×1.31867262442088-π/2
    2.63734524884175-1.57079632675     		φ = 1.06654892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01812015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.038208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06654892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.108752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32957 KachelY 18621 0.01812015 1.06654892 1.038208 61.108752
    Oben rechts KachelX + 1 32958 KachelY 18621 0.01821602 1.06654892 1.043701 61.108752
    Unten links KachelX 32957 KachelY + 1 18622 0.01812015 1.06650260 1.038208 61.106098
    Unten rechts KachelX + 1 32958 KachelY + 1 18622 0.01821602 1.06650260 1.043701 61.106098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06654892-1.06650260) × R
    4.63200000000441e-05 × 6371000     		dl = 295.104720000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06654892-1.06650260) × R
    4.63200000000441e-05 × 6371000     		dr = 295.104720000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01812015-0.01821602) × cos(1.06654892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.483148653009981 × 6371000     		do = 295.101288350464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01812015-0.01821602) × cos(1.06650260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.483189207427417 × 6371000     		du = 295.126058492653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06654892)-sin(1.06650260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483148653009981-0.483189207427417)×R²
    abs(0.01821602-0.01812015)×4.0554417435168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0554417435168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0554417435168e-05×40589641000000     		ar = 87089.4379786674m²