Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32954 / 33092
↖ ↑ ↗
← S  1.779499°
E  1.021729°		 ← 610.49 m → S  1.779499°
E  1.027222°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.784989°
E  1.021729°		 ← 610.49 m →
372 687 m²		 S  1.784989°
E  1.027222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502845764160156 y=0.504951477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502845764160156 × 216)
    floor (0.502845764160156 × 65536)
    floor (32954.5)     		tx = 32954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504951477050781 × 216)
    floor (0.504951477050781 × 65536)
    floor (33092.5)     		ty = 33092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32954 / 33092 ti = "16/32954/33092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32954/33092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32954 ÷ 216
    32954 ÷ 65536     		x = 0.502838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33092 ÷ 216
    33092 ÷ 65536     		y = 0.50494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502838134765625 × 2 - 1) × π
    0.00567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01783253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01783253} λ = 0.01783253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0310631109537964))-π/2
    2×atan(0.969414390478593)-π/2
    2×0.769869105094811-π/2
    1.53973821018962-1.57079632675     		φ = -0.03105812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01783253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03105812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.779499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32954 KachelY 33092 0.01783253 -0.03105812 1.021729 -1.779499
    Oben rechts KachelX + 1 32955 KachelY 33092 0.01792840 -0.03105812 1.027222 -1.779499
    Unten links KachelX 32954 KachelY + 1 33093 0.01783253 -0.03115394 1.021729 -1.784989
    Unten rechts KachelX + 1 32955 KachelY + 1 33093 0.01792840 -0.03115394 1.027222 -1.784989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03105812--0.03115394) × R
    9.58199999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.46922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03105812--0.03115394) × R
    9.58199999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.46922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01783253-0.01792840) × cos(-0.03105812) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999517735359216 × 6371000     		do = 610.493208655514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01783253-0.01792840) × cos(-0.03115394) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99951475526006 × 6371000     		du = 610.491388447397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03105812)-sin(-0.03115394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999517735359216-0.99951475526006)×R²
    abs(0.01792840-0.01783253)×2.98009915589148e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.98009915589148e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.98009915589148e-06×40589641000000     		ar = 372686.757597863m²