Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32953 / 33090
↖ ↑ ↗
← S  1.768518°
E  1.016235°		 ← 610.56 m → S  1.768518°
E  1.021729°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.774009°
E  1.016235°		 ← 610.56 m →
372 767 m²		 S  1.774009°
E  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502830505371094 y=0.504920959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502830505371094 × 216)
    floor (0.502830505371094 × 65536)
    floor (32953.5)     		tx = 32953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504920959472656 × 216)
    floor (0.504920959472656 × 65536)
    floor (33090.5)     		ty = 33090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32953 / 33090 ti = "16/32953/33090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32953/33090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32953 ÷ 216
    32953 ÷ 65536     		x = 0.502822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33090 ÷ 216
    33090 ÷ 65536     		y = 0.504913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.00982666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0308713633553162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01773665} λ = 0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0308713633553162))-π/2
    2×atan(0.969600291182337)-π/2
    2×0.769964932942228-π/2
    1.53992986588446-1.57079632675     		φ = -0.03086646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03086646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.768518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32953 KachelY 33090 0.01773665 -0.03086646 1.016235 -1.768518
    Oben rechts KachelX + 1 32954 KachelY 33090 0.01783253 -0.03086646 1.021729 -1.768518
    Unten links KachelX 32953 KachelY + 1 33091 0.01773665 -0.03096229 1.016235 -1.774009
    Unten rechts KachelX + 1 32954 KachelY + 1 33091 0.01783253 -0.03096229 1.021729 -1.774009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03086646--0.03096229) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03086646--0.03096229) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.03086646) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999523668643598 × 6371000     		do = 610.560512285969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.03096229) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999520706590901 × 6371000     		du = 610.558702911695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03086646)-sin(-0.03096229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999523668643598-0.999520706590901)×R²
    abs(0.01783253-0.01773665)×2.96205269756378e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.96205269756378e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.96205269756378e-06×40589641000000     		ar = 372766.746452238m²