Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32949 / 32457
↖ ↑ ↗
← N  1.708121°
E  0.994263°		 ← 610.52 m → N  1.708121°
E  0.999756°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
N  1.702630°
E  0.994263°		 ← 610.52 m →
372 741 m²		 N  1.702630°
E  0.999756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502769470214844 y=0.495262145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502769470214844 × 216)
    floor (0.502769470214844 × 65536)
    floor (32949.5)     		tx = 32949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495262145996094 × 216)
    floor (0.495262145996094 × 65536)
    floor (32457.5)     		ty = 32457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32949 / 32457 ti = "16/32949/32457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32949/32457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32949 ÷ 216
    32949 ÷ 65536     		x = 0.502761840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32457 ÷ 216
    32457 ÷ 65536     		y = 0.495254516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502761840820312 × 2 - 1) × π
    0.005523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01735316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495254516601562 × 2 - 1) × π
    0.009490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0298167515636749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01735316} λ = 0.01735316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0298167515636749))-π/2
    2×atan(1.03026572207174)-π/2
    2×0.800304330649696-π/2
    1.60060866129939-1.57079632675     		φ = 0.02981233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01735316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.994263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02981233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.708121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32949 KachelY 32457 0.01735316 0.02981233 0.994263 1.708121
    Oben rechts KachelX + 1 32950 KachelY 32457 0.01744903 0.02981233 0.999756 1.708121
    Unten links KachelX 32949 KachelY + 1 32458 0.01735316 0.02971650 0.994263 1.702630
    Unten rechts KachelX + 1 32950 KachelY + 1 32458 0.01744903 0.02971650 0.999756 1.702630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02981233-0.02971650) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02981233-0.02971650) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01735316-0.01744903) × cos(0.02981233) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999555645402387 × 6371000     		do = 610.516363646243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01735316-0.01744903) × cos(0.02971650) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999558497305139 × 6371000     		du = 610.518105553565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02981233)-sin(0.02971650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999555645402387-0.999558497305139)×R²
    abs(0.01744903-0.01735316)×2.85190275173264e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.85190275173264e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.85190275173264e-06×40589641000000     		ar = 372740.876341037m²