Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32946 / 33084
↖ ↑ ↗
← S  1.735575°
E  0.977783°		 ← 610.51 m → S  1.735575°
E  0.983276°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.741065°
E  0.977783°		 ← 610.51 m →
372 734 m²		 S  1.741065°
E  0.983276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502723693847656 y=0.504829406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502723693847656 × 216)
    floor (0.502723693847656 × 65536)
    floor (32946.5)     		tx = 32946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504829406738281 × 216)
    floor (0.504829406738281 × 65536)
    floor (33084.5)     		ty = 33084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32946 / 33084 ti = "16/32946/33084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32946/33084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32946 ÷ 216
    32946 ÷ 65536     		x = 0.502716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33084 ÷ 216
    33084 ÷ 65536     		y = 0.50482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502716064453125 × 2 - 1) × π
    0.00543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01706554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0302961205598755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01706554} λ = 0.01706554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0302961205598755))-π/2
    2×atan(0.970158207217502)-π/2
    2×0.770252419872864-π/2
    1.54050483974573-1.57079632675     		φ = -0.03029149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01706554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03029149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.735575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32946 KachelY 33084 0.01706554 -0.03029149 0.977783 -1.735575
    Oben rechts KachelX + 1 32947 KachelY 33084 0.01716141 -0.03029149 0.983276 -1.735575
    Unten links KachelX 32946 KachelY + 1 33085 0.01706554 -0.03038732 0.977783 -1.741065
    Unten rechts KachelX + 1 32947 KachelY + 1 33085 0.01716141 -0.03038732 0.983276 -1.741065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03029149--0.03038732) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03029149--0.03038732) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01706554-0.01716141) × cos(-0.03029149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999541247896664 × 6371000     		do = 610.507569825807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01706554-0.01716141) × cos(-0.03038732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999538340917501 × 6371000     		du = 610.505794278487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03029149)-sin(-0.03038732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999541247896664-0.999538340917501)×R²
    abs(0.01716141-0.01706554)×2.90697916294214e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.90697916294214e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90697916294214e-06×40589641000000     		ar = 372734.433663119m²